Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9079 / 25653
↖ ↑ ↗
← S 70.804978°
W 80.255127°		 ← 401.66 m → S 70.804978°
W 80.244141°		 →
↑
401.63 m
↓
↑
401.63 m
↓
S 70.808590°
W 80.255127°		 ← 401.58 m →
161 302 m²		 S 70.808590°
W 80.244141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277084350585938 y=0.782882690429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277084350585938 × 215)
    floor (0.277084350585938 × 32768)
    floor (9079.5)     		tx = 9079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782882690429688 × 215)
    floor (0.782882690429688 × 32768)
    floor (25653.5)     		ty = 25653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9079 / 25653 ti = "15/9079/25653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9079/25653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9079 ÷ 215
    9079 ÷ 32768     		x = 0.277069091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25653 ÷ 215
    25653 ÷ 32768     		y = 0.782867431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277069091796875 × 2 - 1) × π
    -0.44586181640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40071621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782867431640625 × 2 - 1) × π
    -0.56573486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.7773084903132
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40071621} λ = -1.40071621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7773084903132))-π/2
    2×atan(0.169092649850207)-π/2
    2×0.167508160877709-π/2
    0.335016321755419-1.57079632675     		φ = -1.23578000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40071621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.255127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23578000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.804978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9079 KachelY 25653 -1.40071621 -1.23578000 -80.255127 -70.804978
    Oben rechts KachelX + 1 9080 KachelY 25653 -1.40052446 -1.23578000 -80.244141 -70.804978
    Unten links KachelX 9079 KachelY + 1 25654 -1.40071621 -1.23584304 -80.255127 -70.808590
    Unten rechts KachelX + 1 9080 KachelY + 1 25654 -1.40052446 -1.23584304 -80.244141 -70.808590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23578000--1.23584304) × R
    6.30399999999032e-05 × 6371000     		dl = 401.627839999383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23578000--1.23584304) × R
    6.30399999999032e-05 × 6371000     		dr = 401.627839999383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40071621--1.40052446) × cos(-1.23578000) × R
    0.000191749999999935 × 0.328784589023507 × 6371000     		do = 401.656158746099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40071621--1.40052446) × cos(-1.23584304) × R
    0.000191749999999935 × 0.328725053082716 × 6371000     		du = 401.583427304043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23578000)-sin(-1.23584304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328784589023507-0.328725053082716)×R²
    abs(-1.40052446--1.40071621)×5.95359407908336e-05×R²
    0.000191749999999935×5.95359407908336e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.95359407908336e-05×40589641000000     		ar = 161301.690027792m²