Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 9078 / 26150
↖ ↑ ↗
← S 72.521531°
W 80.266113°		 ← 366.90 m → S 72.521531°
W 80.255127°		 →
↑
366.91 m
↓
↑
366.91 m
↓
S 72.524831°
W 80.266113°		 ← 366.83 m →
134 604 m²		 S 72.524831°
W 80.255127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277053833007812 y=0.798049926757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277053833007812 × 215)
    floor (0.277053833007812 × 32768)
    floor (9078.5)     		tx = 9078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798049926757812 × 215)
    floor (0.798049926757812 × 32768)
    floor (26150.5)     		ty = 26150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9078 / 26150 ti = "15/9078/26150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9078/26150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9078 ÷ 215
    9078 ÷ 32768     		x = 0.27703857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26150 ÷ 215
    26150 ÷ 32768     		y = 0.79803466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27703857421875 × 2 - 1) × π
    -0.4459228515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40090795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79803466796875 × 2 - 1) × π
    -0.5960693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.87260704675787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40090795} λ = -1.40090795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87260704675787))-π/2
    2×atan(0.153722377533012)-π/2
    2×0.152528411713466-π/2
    0.305056823426933-1.57079632675     		φ = -1.26573950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40090795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.266113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26573950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.521531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9078 KachelY 26150 -1.40090795 -1.26573950 -80.266113 -72.521531
    Oben rechts KachelX + 1 9079 KachelY 26150 -1.40071621 -1.26573950 -80.255127 -72.521531
    Unten links KachelX 9078 KachelY + 1 26151 -1.40090795 -1.26579709 -80.266113 -72.524831
    Unten rechts KachelX + 1 9079 KachelY + 1 26151 -1.40071621 -1.26579709 -80.255127 -72.524831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26573950--1.26579709) × R
    5.75899999999407e-05 × 6371000     		dl = 366.905889999623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26573950--1.26579709) × R
    5.75899999999407e-05 × 6371000     		dr = 366.905889999623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40090795--1.40071621) × cos(-1.26573950) × R
    0.000191739999999996 × 0.300347378789503 × 6371000     		do = 366.897011432363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40090795--1.40071621) × cos(-1.26579709) × R
    0.000191739999999996 × 0.300292447228312 × 6371000     		du = 366.829908380839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26573950)-sin(-1.26579709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300347378789503-0.300292447228312)×R²
    abs(-1.40071621--1.40090795)×5.49315611905743e-05×R²
    0.000191739999999996×5.49315611905743e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.49315611905743e-05×40589641000000     		ar = 134604.364302349m²