Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9077 / 7091
↖ ↑ ↗
← N 80.250601°
W130.138550°		 ← 103.44 m → N 80.250601°
W130.133056°		 →
↑
103.47 m
↓
↑
103.47 m
↓
N 80.249670°
W130.138550°		 ← 103.45 m →
10 703 m²		 N 80.249670°
W130.133056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138511657714844 y=0.108207702636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138511657714844 × 216)
    floor (0.138511657714844 × 65536)
    floor (9077.5)     		tx = 9077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108207702636719 × 216)
    floor (0.108207702636719 × 65536)
    floor (7091.5)     		ty = 7091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9077 / 7091 ti = "16/9077/7091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9077/7091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9077 ÷ 216
    9077 ÷ 65536     		x = 0.138504028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7091 ÷ 216
    7091 ÷ 65536     		y = 0.108200073242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138504028320312 × 2 - 1) × π
    -0.722991943359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.27134618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108200073242188 × 2 - 1) × π
    0.783599853515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46175154308836
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27134618} λ = -2.27134618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46175154308836))-π/2
    2×atan(11.725330986836)-π/2
    2×1.48571676766265-π/2
    2.97143353532531-1.57079632675     		φ = 1.40063721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27134618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.138550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40063721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.250601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9077 KachelY 7091 -2.27134618 1.40063721 -130.138550 80.250601
    Oben rechts KachelX + 1 9078 KachelY 7091 -2.27125030 1.40063721 -130.133056 80.250601
    Unten links KachelX 9077 KachelY + 1 7092 -2.27134618 1.40062097 -130.138550 80.249670
    Unten rechts KachelX + 1 9078 KachelY + 1 7092 -2.27125030 1.40062097 -130.133056 80.249670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40063721-1.40062097) × R
    1.62399999998897e-05 × 6371000     		dl = 103.465039999297m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40063721-1.40062097) × R
    1.62399999998897e-05 × 6371000     		dr = 103.465039999297m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27134618--2.27125030) × cos(1.40063721) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.169339170013851 × 6371000     		do = 103.441082624865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27134618--2.27125030) × cos(1.40062097) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.169355175450755 × 6371000     		du = 103.450859569686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40063721)-sin(1.40062097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169339170013851-0.169355175450755)×R²
    abs(-2.27125030--2.27134618)×1.6005436903832e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.6005436903832e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.6005436903832e-05×40589641000000     		ar = 10703.0415377828m²