Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9076 / 12013
↖ ↑ ↗
← S 63.985600°
E 19.423828°		 ← 1 071.61 m → S 63.985600°
E 19.445801°		 →
↑
1 071.41 m
↓
↑
1 071.41 m
↓
S 63.995235°
E 19.423828°		 ← 1 071.25 m →
1 147 942 m²		 S 63.995235°
E 19.445801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.553985595703125 y=0.733245849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.553985595703125 × 214)
    floor (0.553985595703125 × 16384)
    floor (9076.5)     		tx = 9076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733245849609375 × 214)
    floor (0.733245849609375 × 16384)
    floor (12013.5)     		ty = 12013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9076 / 12013 ti = "14/9076/12013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9076/12013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9076 ÷ 214
    9076 ÷ 16384     		x = 0.553955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12013 ÷ 214
    12013 ÷ 16384     		y = 0.73321533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.553955078125 × 2 - 1) × π
    0.10791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.33900975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73321533203125 × 2 - 1) × π
    -0.4664306640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.46533514758588
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33900975} λ = 0.33900975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46533514758588))-π/2
    2×atan(0.231000559222679)-π/2
    2×0.227018468989986-π/2
    0.454036937979973-1.57079632675     		φ = -1.11675939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33900975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.423828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11675939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.985600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9076 KachelY 12013 0.33900975 -1.11675939 19.423828 -63.985600
    Oben rechts KachelX + 1 9077 KachelY 12013 0.33939325 -1.11675939 19.445801 -63.985600
    Unten links KachelX 9076 KachelY + 1 12014 0.33900975 -1.11692756 19.423828 -63.995235
    Unten rechts KachelX + 1 9077 KachelY + 1 12014 0.33939325 -1.11692756 19.445801 -63.995235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11675939--1.11692756) × R
    0.000168170000000023 × 6371000     		dl = 1071.41107000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11675939--1.11692756) × R
    0.000168170000000023 × 6371000     		dr = 1071.41107000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33900975-0.33939325) × cos(-1.11675939) × R
    0.000383499999999981 × 0.438597027996165 × 6371000     		do = 1071.61468866688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33900975-0.33939325) × cos(-1.11692756) × R
    0.000383499999999981 × 0.438445890133233 × 6371000     		du = 1071.24541677584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11675939)-sin(-1.11692756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438597027996165-0.438445890133233)×R²
    abs(0.33939325-0.33900975)×0.000151137862932194×R²
    0.000383499999999981×0.000151137862932194×6371000²
    0.000383499999999981×0.000151137862932194×40589641000000     		ar = 1147942.02192207m²