Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9075 / 26155
↖ ↑ ↗
← S 72.538023°
W 80.299072°		 ← 366.58 m → S 72.538023°
W 80.288086°		 →
↑
366.52 m
↓
↑
366.52 m
↓
S 72.541319°
W 80.299072°		 ← 366.51 m →
134 348 m²		 S 72.541319°
W 80.288086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276962280273438 y=0.798202514648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276962280273438 × 215)
    floor (0.276962280273438 × 32768)
    floor (9075.5)     		tx = 9075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798202514648438 × 215)
    floor (0.798202514648438 × 32768)
    floor (26155.5)     		ty = 26155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9075 / 26155 ti = "15/9075/26155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9075/26155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9075 ÷ 215
    9075 ÷ 32768     		x = 0.276947021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26155 ÷ 215
    26155 ÷ 32768     		y = 0.798187255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276947021484375 × 2 - 1) × π
    -0.44610595703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40148320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798187255859375 × 2 - 1) × π
    -0.59637451171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.87356578475027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40148320} λ = -1.40148320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87356578475027))-π/2
    2×atan(0.153575068675971)-π/2
    2×0.152384500307086-π/2
    0.304769000614172-1.57079632675     		φ = -1.26602733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40148320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.299072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26602733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.538023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9075 KachelY 26155 -1.40148320 -1.26602733 -80.299072 -72.538023
    Oben rechts KachelX + 1 9076 KachelY 26155 -1.40129145 -1.26602733 -80.288086 -72.538023
    Unten links KachelX 9075 KachelY + 1 26156 -1.40148320 -1.26608486 -80.299072 -72.541319
    Unten rechts KachelX + 1 9076 KachelY + 1 26156 -1.40129145 -1.26608486 -80.288086 -72.541319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26602733--1.26608486) × R
    5.75300000000833e-05 × 6371000     		dl = 366.523630000531m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26602733--1.26608486) × R
    5.75300000000833e-05 × 6371000     		dr = 366.523630000531m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40148320--1.40129145) × cos(-1.26602733) × R
    0.000191749999999935 × 0.300072825495806 × 6371000     		do = 366.580741483953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40148320--1.40129145) × cos(-1.26608486) × R
    0.000191749999999935 × 0.300017946194763 × 6371000     		du = 366.513698775786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26602733)-sin(-1.26608486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300072825495806-0.300017946194763)×R²
    abs(-1.40129145--1.40148320)×5.48793010430315e-05×R²
    0.000191749999999935×5.48793010430315e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.48793010430315e-05×40589641000000     		ar = 134348.217725319m²