Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 90740 / 41582
↖ ↑ ↗
← N 54.803851°
E 69.224854°		 ← 176 m → N 54.803851°
E 69.227600°		 →
↑
176.03 m
↓
↑
176.03 m
↓
N 54.802268°
E 69.224854°		 ← 176.01 m →
30 983 m²		 N 54.802268°
E 69.227600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.692295074462891 y=0.317249298095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.692295074462891 × 217)
    floor (0.692295074462891 × 131072)
    floor (90740.5)     		tx = 90740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317249298095703 × 217)
    floor (0.317249298095703 × 131072)
    floor (41582.5)     		ty = 41582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90740 / 41582 ti = "17/90740/41582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90740/41582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90740 ÷ 217
    90740 ÷ 131072     		x = 0.692291259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41582 ÷ 217
    41582 ÷ 131072     		y = 0.317245483398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.692291259765625 × 2 - 1) × π
    0.38458251953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.20820162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317245483398438 × 2 - 1) × π
    0.365509033203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.14828049349883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20820162} λ = 1.20820162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14828049349883))-π/2
    2×atan(3.15276704269327)-π/2
    2×1.26365198585677-π/2
    2.52730397171354-1.57079632675     		φ = 0.95650764
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20820162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.224854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95650764 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.803851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90740 KachelY 41582 1.20820162 0.95650764 69.224854 54.803851
    Oben rechts KachelX + 1 90741 KachelY 41582 1.20824955 0.95650764 69.227600 54.803851
    Unten links KachelX 90740 KachelY + 1 41583 1.20820162 0.95648001 69.224854 54.802268
    Unten rechts KachelX + 1 90741 KachelY + 1 41583 1.20824955 0.95648001 69.227600 54.802268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95650764-0.95648001) × R
    2.76299999999452e-05 × 6371000     		dl = 176.030729999651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95650764-0.95648001) × R
    2.76299999999452e-05 × 6371000     		dr = 176.030729999651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20820162-1.20824955) × cos(0.95650764) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.576377394635202 × 6371000     		do = 176.003771271209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20820162-1.20824955) × cos(0.95648001) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.576399973199122 × 6371000     		du = 176.010665907322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95650764)-sin(0.95648001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576377394635202-0.576399973199122)×R²
    abs(1.20824955-1.20820162)×2.25785639192955e-05×R²
    4.79299999998073e-05×2.25785639192955e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×2.25785639192955e-05×40589641000000     		ar = 30982.6791754401m²