Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90735 / 41587
↖ ↑ ↗
← N 54.795935°
E 69.211120°		 ← 176.07 m → N 54.795935°
E 69.213867°		 →
↑
176.03 m
↓
↑
176.03 m
↓
N 54.794352°
E 69.211120°		 ← 176.08 m →
30 995 m²		 N 54.794352°
E 69.213867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.692256927490234 y=0.317287445068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.692256927490234 × 217)
    floor (0.692256927490234 × 131072)
    floor (90735.5)     		tx = 90735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317287445068359 × 217)
    floor (0.317287445068359 × 131072)
    floor (41587.5)     		ty = 41587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90735 / 41587 ti = "17/90735/41587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90735/41587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90735 ÷ 217
    90735 ÷ 131072     		x = 0.692253112792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41587 ÷ 217
    41587 ÷ 131072     		y = 0.317283630371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.692253112792969 × 2 - 1) × π
    0.384506225585938 × 3.1415926535     		Λ = 1.20796193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317283630371094 × 2 - 1) × π
    0.365432739257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.14804080900072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20796193} λ = 1.20796193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14804080900072))-π/2
    2×atan(3.1520114638609)-π/2
    2×1.26358290472909-π/2
    2.52716580945818-1.57079632675     		φ = 0.95636948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20796193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.211120°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95636948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.795935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90735 KachelY 41587 1.20796193 0.95636948 69.211120 54.795935
    Oben rechts KachelX + 1 90736 KachelY 41587 1.20800987 0.95636948 69.213867 54.795935
    Unten links KachelX 90735 KachelY + 1 41588 1.20796193 0.95634185 69.211120 54.794352
    Unten rechts KachelX + 1 90736 KachelY + 1 41588 1.20800987 0.95634185 69.213867 54.794352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95636948-0.95634185) × R
    2.76299999999452e-05 × 6371000     		dl = 176.030729999651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95636948-0.95634185) × R
    2.76299999999452e-05 × 6371000     		dr = 176.030729999651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20796193-1.20800987) × cos(0.95636948) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.576490291225332 × 6371000     		do = 176.074973800197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20796193-1.20800987) × cos(0.95634185) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.576512867588753 × 6371000     		du = 176.081869202701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95636948)-sin(0.95634185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576490291225332-0.576512867588753)×R²
    abs(1.20800987-1.20796193)×2.25763634204013e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.25763634204013e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.25763634204013e-05×40589641000000     		ar = 30995.2130760242m²