Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90735 / 41586
↖ ↑ ↗
← N 54.797519°
E 69.211120°		 ← 176.07 m → N 54.797519°
E 69.213867°		 →
↑
176.09 m
↓
↑
176.09 m
↓
N 54.795935°
E 69.211120°		 ← 176.07 m →
31 005 m²		 N 54.795935°
E 69.213867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.692256927490234 y=0.317279815673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.692256927490234 × 217)
    floor (0.692256927490234 × 131072)
    floor (90735.5)     		tx = 90735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317279815673828 × 217)
    floor (0.317279815673828 × 131072)
    floor (41586.5)     		ty = 41586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90735 / 41586 ti = "17/90735/41586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90735/41586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90735 ÷ 217
    90735 ÷ 131072     		x = 0.692253112792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41586 ÷ 217
    41586 ÷ 131072     		y = 0.317276000976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.692253112792969 × 2 - 1) × π
    0.384506225585938 × 3.1415926535     		Λ = 1.20796193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317276000976562 × 2 - 1) × π
    0.365447998046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.14808874590034
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20796193} λ = 1.20796193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14808874590034))-π/2
    2×atan(3.15216256513968)-π/2
    2×1.26359672203704-π/2
    2.52719344407407-1.57079632675     		φ = 0.95639712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20796193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.211120°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95639712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.797519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90735 KachelY 41586 1.20796193 0.95639712 69.211120 54.797519
    Oben rechts KachelX + 1 90736 KachelY 41586 1.20800987 0.95639712 69.213867 54.797519
    Unten links KachelX 90735 KachelY + 1 41587 1.20796193 0.95636948 69.211120 54.795935
    Unten rechts KachelX + 1 90736 KachelY + 1 41587 1.20800987 0.95636948 69.213867 54.795935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95639712-0.95636948) × R
    2.76399999999954e-05 × 6371000     		dl = 176.094439999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95639712-0.95636948) × R
    2.76399999999954e-05 × 6371000     		dr = 176.094439999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20796193-1.20800987) × cos(0.95639712) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.57646770625061 × 6371000     		do = 176.06807576758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20796193-1.20800987) × cos(0.95636948) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.576490291225332 × 6371000     		du = 176.074973800197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95639712)-sin(0.95636948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57646770625061-0.576490291225332)×R²
    abs(1.20800987-1.20796193)×2.2584974722073e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2584974722073e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2584974722073e-05×40589641000000     		ar = 31005.2165587587m²