Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90733 / 41598
↖ ↑ ↗
← N 54.778514°
E 69.205627°		 ← 176.15 m → N 54.778514°
E 69.208374°		 →
↑
176.16 m
↓
↑
176.16 m
↓
N 54.776930°
E 69.205627°		 ← 176.16 m →
31 031 m²		 N 54.776930°
E 69.208374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.692241668701172 y=0.317371368408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.692241668701172 × 217)
    floor (0.692241668701172 × 131072)
    floor (90733.5)     		tx = 90733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317371368408203 × 217)
    floor (0.317371368408203 × 131072)
    floor (41598.5)     		ty = 41598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90733 / 41598 ti = "17/90733/41598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90733/41598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90733 ÷ 217
    90733 ÷ 131072     		x = 0.692237854003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41598 ÷ 217
    41598 ÷ 131072     		y = 0.317367553710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.692237854003906 × 2 - 1) × π
    0.384475708007812 × 3.1415926535     		Λ = 1.20786606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317367553710938 × 2 - 1) × π
    0.365264892578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1475135031049
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20786606} λ = 1.20786606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1475135031049))-π/2
    2×atan(3.15034982776607)-π/2
    2×1.26343087861836-π/2
    2.52686175723672-1.57079632675     		φ = 0.95606543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20786606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.205627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95606543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.778514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90733 KachelY 41598 1.20786606 0.95606543 69.205627 54.778514
    Oben rechts KachelX + 1 90734 KachelY 41598 1.20791400 0.95606543 69.208374 54.778514
    Unten links KachelX 90733 KachelY + 1 41599 1.20786606 0.95603778 69.205627 54.776930
    Unten rechts KachelX + 1 90734 KachelY + 1 41599 1.20791400 0.95603778 69.208374 54.776930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95606543-0.95603778) × R
    2.76500000000457e-05 × 6371000     		dl = 176.158150000291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95606543-0.95603778) × R
    2.76500000000457e-05 × 6371000     		dr = 176.158150000291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20786606-1.20791400) × cos(0.95606543) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.576738705044977 × 6371000     		do = 176.150845774888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20786606-1.20791400) × cos(0.95603778) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.576761292902476 × 6371000     		du = 176.15774468798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95606543)-sin(0.95603778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576738705044977-0.576761292902476)×R²
    abs(1.20791400-1.20786606)×2.2587857498646e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2587857498646e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2587857498646e-05×40589641000000     		ar = 31031.0147645411m²