Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90732 / 41579
↖ ↑ ↗
← N 54.808600°
E 69.202881°		 ← 176.02 m → N 54.808600°
E 69.205627°		 →
↑
176.03 m
↓
↑
176.03 m
↓
N 54.807017°
E 69.202881°		 ← 176.03 m →
30 986 m²		 N 54.807017°
E 69.205627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.692234039306641 y=0.317226409912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.692234039306641 × 217)
    floor (0.692234039306641 × 131072)
    floor (90732.5)     		tx = 90732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317226409912109 × 217)
    floor (0.317226409912109 × 131072)
    floor (41579.5)     		ty = 41579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90732 / 41579 ti = "17/90732/41579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90732/41579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90732 ÷ 217
    90732 ÷ 131072     		x = 0.692230224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41579 ÷ 217
    41579 ÷ 131072     		y = 0.317222595214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.692230224609375 × 2 - 1) × π
    0.38446044921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.20781812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317222595214844 × 2 - 1) × π
    0.365554809570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.14842430419769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20781812} λ = 1.20781812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14842430419769))-π/2
    2×atan(3.15322047692859)-π/2
    2×1.26369342803921-π/2
    2.52738685607843-1.57079632675     		φ = 0.95659053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20781812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.202881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95659053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.808600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90732 KachelY 41579 1.20781812 0.95659053 69.202881 54.808600
    Oben rechts KachelX + 1 90733 KachelY 41579 1.20786606 0.95659053 69.205627 54.808600
    Unten links KachelX 90732 KachelY + 1 41580 1.20781812 0.95656290 69.202881 54.807017
    Unten rechts KachelX + 1 90733 KachelY + 1 41580 1.20786606 0.95656290 69.205627 54.807017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95659053-0.95656290) × R
    2.76300000000562e-05 × 6371000     		dl = 176.030730000358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95659053-0.95656290) × R
    2.76300000000562e-05 × 6371000     		dr = 176.030730000358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20781812-1.20786606) × cos(0.95659053) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.576309656303416 × 6371000     		do = 176.019803245501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20781812-1.20786606) × cos(0.95656290) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.576332236187332 × 6371000     		du = 176.026699723255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95659053)-sin(0.95656290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576309656303416-0.576332236187332)×R²
    abs(1.20786606-1.20781812)×2.25798839164071e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.25798839164071e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.25798839164071e-05×40589641000000     		ar = 30985.5014578679m²