Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9073 / 26355
↖ ↑ ↗
← S 73.185434°
W 80.321045°		 ← 353.39 m → S 73.185434°
W 80.310058°		 →
↑
353.34 m
↓
↑
353.34 m
↓
S 73.188612°
W 80.321045°		 ← 353.33 m →
124 854 m²		 S 73.188612°
W 80.310058°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276901245117188 y=0.804306030273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276901245117188 × 215)
    floor (0.276901245117188 × 32768)
    floor (9073.5)     		tx = 9073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.804306030273438 × 215)
    floor (0.804306030273438 × 32768)
    floor (26355.5)     		ty = 26355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9073 / 26355 ti = "15/9073/26355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9073/26355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9073 ÷ 215
    9073 ÷ 32768     		x = 0.276885986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26355 ÷ 215
    26355 ÷ 32768     		y = 0.804290771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276885986328125 × 2 - 1) × π
    -0.44622802734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40186669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.804290771484375 × 2 - 1) × π
    -0.60858154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.91191530444632
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40186669} λ = -1.40186669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.91191530444632))-π/2
    2×atan(0.14779703900767)-π/2
    2×0.146734769372235-π/2
    0.293469538744469-1.57079632675     		φ = -1.27732679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40186669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.321045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27732679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.185434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9073 KachelY 26355 -1.40186669 -1.27732679 -80.321045 -73.185434
    Oben rechts KachelX + 1 9074 KachelY 26355 -1.40167494 -1.27732679 -80.310058 -73.185434
    Unten links KachelX 9073 KachelY + 1 26356 -1.40186669 -1.27738225 -80.321045 -73.188612
    Unten rechts KachelX + 1 9074 KachelY + 1 26356 -1.40167494 -1.27738225 -80.310058 -73.188612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27732679--1.27738225) × R
    5.54600000000072e-05 × 6371000     		dl = 353.335660000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27732679--1.27738225) × R
    5.54600000000072e-05 × 6371000     		dr = 353.335660000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40186669--1.40167494) × cos(-1.27732679) × R
    0.000191750000000157 × 0.289275159719448 × 6371000     		do = 353.389889163586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40186669--1.40167494) × cos(-1.27738225) × R
    0.000191750000000157 × 0.28922207041209 × 6371000     		du = 353.325033181963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27732679)-sin(-1.27738225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289275159719448-0.28922207041209)×R²
    abs(-1.40167494--1.40186669)×5.308930735759e-05×R²
    0.000191750000000157×5.308930735759e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.308930735759e-05×40589641000000     		ar = 124853.791790804m²