Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 90728 / 41592
↖ ↑ ↗
← N 54.788017°
E 69.191895°		 ← 176.07 m → N 54.788017°
E 69.194641°		 →
↑
176.09 m
↓
↑
176.09 m
↓
N 54.786434°
E 69.191895°		 ← 176.08 m →
31 006 m²		 N 54.786434°
E 69.194641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.692203521728516 y=0.317325592041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.692203521728516 × 217)
    floor (0.692203521728516 × 131072)
    floor (90728.5)     		tx = 90728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317325592041016 × 217)
    floor (0.317325592041016 × 131072)
    floor (41592.5)     		ty = 41592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90728 / 41592 ti = "17/90728/41592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90728/41592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90728 ÷ 217
    90728 ÷ 131072     		x = 0.69219970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41592 ÷ 217
    41592 ÷ 131072     		y = 0.31732177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69219970703125 × 2 - 1) × π
    0.3843994140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.20762638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31732177734375 × 2 - 1) × π
    0.3653564453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.14780112450262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20762638} λ = 1.20762638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14780112450262))-π/2
    2×atan(3.15125606610736)-π/2
    2×1.26351381007074-π/2
    2.52702762014147-1.57079632675     		φ = 0.95623129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20762638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.191895°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95623129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.788017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90728 KachelY 41592 1.20762638 0.95623129 69.191895 54.788017
    Oben rechts KachelX + 1 90729 KachelY 41592 1.20767431 0.95623129 69.194641 54.788017
    Unten links KachelX 90728 KachelY + 1 41593 1.20762638 0.95620365 69.191895 54.786434
    Unten rechts KachelX + 1 90729 KachelY + 1 41593 1.20767431 0.95620365 69.194641 54.786434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95623129-0.95620365) × R
    2.76399999999954e-05 × 6371000     		dl = 176.094439999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95623129-0.95620365) × R
    2.76399999999954e-05 × 6371000     		dr = 176.094439999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20762638-1.20767431) × cos(0.95623129) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.576603201322039 × 6371000     		do = 176.072724060304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20762638-1.20767431) × cos(0.95620365) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.576625783654135 × 6371000     		du = 176.079619847075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95623129)-sin(0.95620365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576603201322039-0.576625783654135)×R²
    abs(1.20767431-1.20762638)×2.25823320962881e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.25823320962881e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.25823320962881e-05×40589641000000     		ar = 31006.0348993432m²