Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90721 / 41509
↖ ↑ ↗
← N 54.919250°
E 69.172669°		 ← 175.50 m → N 54.919250°
E 69.175415°		 →
↑
175.52 m
↓
↑
175.52 m
↓
N 54.917671°
E 69.172669°		 ← 175.51 m →
30 805 m²		 N 54.917671°
E 69.175415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.692150115966797 y=0.316692352294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.692150115966797 × 217)
    floor (0.692150115966797 × 131072)
    floor (90721.5)     		tx = 90721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316692352294922 × 217)
    floor (0.316692352294922 × 131072)
    floor (41509.5)     		ty = 41509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90721 / 41509 ti = "17/90721/41509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90721/41509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90721 ÷ 217
    90721 ÷ 131072     		x = 0.692146301269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41509 ÷ 217
    41509 ÷ 131072     		y = 0.316688537597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.692146301269531 × 2 - 1) × π
    0.384292602539062 × 3.1415926535     		Λ = 1.20729082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316688537597656 × 2 - 1) × π
    0.366622924804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.15177988717109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20729082} λ = 1.20729082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15177988717109))-π/2
    2×atan(3.16381914227783)-π/2
    2×1.26465903028904-π/2
    2.52931806057808-1.57079632675     		φ = 0.95852173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20729082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.172669°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95852173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.919250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90721 KachelY 41509 1.20729082 0.95852173 69.172669 54.919250
    Oben rechts KachelX + 1 90722 KachelY 41509 1.20733875 0.95852173 69.175415 54.919250
    Unten links KachelX 90721 KachelY + 1 41510 1.20729082 0.95849418 69.172669 54.917671
    Unten rechts KachelX + 1 90722 KachelY + 1 41510 1.20733875 0.95849418 69.175415 54.917671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95852173-0.95849418) × R
    2.75499999999873e-05 × 6371000     		dl = 175.521049999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95852173-0.95849418) × R
    2.75499999999873e-05 × 6371000     		dr = 175.521049999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20729082-1.20733875) × cos(0.95852173) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.574730345299679 × 6371000     		do = 175.500824942605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20729082-1.20733875) × cos(0.95849418) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.574752890427252 × 6371000     		du = 175.507709368528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95852173)-sin(0.95849418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574730345299679-0.574752890427252)×R²
    abs(1.20733875-1.20729082)×2.25451275728261e-05×R²
    4.79299999998073e-05×2.25451275728261e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×2.25451275728261e-05×40589641000000     		ar = 30804.6932525616m²