Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9072 / 9647
↖ ↑ ↗
← S 30.429729°
E 19.335937°		 ← 2 106.72 m → S 30.429729°
E 19.357910°		 →
↑
2 106.51 m
↓
↑
2 106.51 m
↓
S 30.448674°
E 19.335937°		 ← 2 106.31 m →
4 437 389 m²		 S 30.448674°
E 19.357910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.553741455078125 y=0.588836669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.553741455078125 × 214)
    floor (0.553741455078125 × 16384)
    floor (9072.5)     		tx = 9072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588836669921875 × 214)
    floor (0.588836669921875 × 16384)
    floor (9647.5)     		ty = 9647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9072 / 9647 ti = "14/9072/9647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9072/9647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9072 ÷ 214
    9072 ÷ 16384     		x = 0.5537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9647 ÷ 214
    9647 ÷ 16384     		y = 0.58880615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5537109375 × 2 - 1) × π
    0.107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.33747577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58880615234375 × 2 - 1) × π
    -0.1776123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.557985511577454
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33747577} λ = 0.33747577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.557985511577454))-π/2
    2×atan(0.572360917703385)-π/2
    2×0.519848677616426-π/2
    1.03969735523285-1.57079632675     		φ = -0.53109897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33747577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.335937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53109897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.429729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9072 KachelY 9647 0.33747577 -0.53109897 19.335937 -30.429729
    Oben rechts KachelX + 1 9073 KachelY 9647 0.33785927 -0.53109897 19.357910 -30.429729
    Unten links KachelX 9072 KachelY + 1 9648 0.33747577 -0.53142961 19.335937 -30.448674
    Unten rechts KachelX + 1 9073 KachelY + 1 9648 0.33785927 -0.53142961 19.357910 -30.448674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53109897--0.53142961) × R
    0.000330640000000049 × 6371000     		dl = 2106.50744000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53109897--0.53142961) × R
    0.000330640000000049 × 6371000     		dr = 2106.50744000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33747577-0.33785927) × cos(-0.53109897) × R
    0.000383499999999981 × 0.862250983629484 × 6371000     		do = 2106.71928990567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33747577-0.33785927) × cos(-0.53142961) × R
    0.000383499999999981 × 0.862083473545203 × 6371000     		du = 2106.31001611821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53109897)-sin(-0.53142961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862250983629484-0.862083473545203)×R²
    abs(0.33785927-0.33747577)×0.000167510084280953×R²
    0.000383499999999981×0.000167510084280953×6371000²
    0.000383499999999981×0.000167510084280953×40589641000000     		ar = 4437388.82946432m²