Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90719 / 41507
↖ ↑ ↗
← N 54.922407°
E 69.167175°		 ← 175.52 m → N 54.922407°
E 69.169922°		 →
↑
175.52 m
↓
↑
175.52 m
↓
N 54.920828°
E 69.167175°		 ← 175.53 m →
30 809 m²		 N 54.920828°
E 69.169922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.692134857177734 y=0.316677093505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.692134857177734 × 217)
    floor (0.692134857177734 × 131072)
    floor (90719.5)     		tx = 90719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316677093505859 × 217)
    floor (0.316677093505859 × 131072)
    floor (41507.5)     		ty = 41507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90719 / 41507 ti = "17/90719/41507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90719/41507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90719 ÷ 217
    90719 ÷ 131072     		x = 0.692131042480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41507 ÷ 217
    41507 ÷ 131072     		y = 0.316673278808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.692131042480469 × 2 - 1) × π
    0.384262084960938 × 3.1415926535     		Λ = 1.20719494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316673278808594 × 2 - 1) × π
    0.366653442382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.15187576097033
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20719494} λ = 1.20719494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15187576097033))-π/2
    2×atan(3.16412248418014)-π/2
    2×1.26468657999899-π/2
    2.52937315999798-1.57079632675     		φ = 0.95857683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20719494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.167175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95857683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.922407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90719 KachelY 41507 1.20719494 0.95857683 69.167175 54.922407
    Oben rechts KachelX + 1 90720 KachelY 41507 1.20724288 0.95857683 69.169922 54.922407
    Unten links KachelX 90719 KachelY + 1 41508 1.20719494 0.95854928 69.167175 54.920828
    Unten rechts KachelX + 1 90720 KachelY + 1 41508 1.20724288 0.95854928 69.169922 54.920828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95857683-0.95854928) × R
    2.75500000000983e-05 × 6371000     		dl = 175.521050000626m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95857683-0.95854928) × R
    2.75500000000983e-05 × 6371000     		dr = 175.521050000626m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20719494-1.20724288) × cos(0.95857683) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.574685253735885 × 6371000     		do = 175.523668889255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20719494-1.20724288) × cos(0.95854928) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.574707799735884 × 6371000     		du = 175.530555017989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95857683)-sin(0.95854928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574685253735885-0.574707799735884)×R²
    abs(1.20724288-1.20719494)×2.25459999994015e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.25459999994015e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.25459999994015e-05×40589641000000     		ar = 30808.7029958135m²