Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90707 / 41506
↖ ↑ ↗
← N 54.923985°
E 69.134216°		 ← 175.52 m → N 54.923985°
E 69.136963°		 →
↑
175.52 m
↓
↑
175.52 m
↓
N 54.922407°
E 69.134216°		 ← 175.52 m →
30 807 m²		 N 54.922407°
E 69.136963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.692043304443359 y=0.316669464111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.692043304443359 × 217)
    floor (0.692043304443359 × 131072)
    floor (90707.5)     		tx = 90707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316669464111328 × 217)
    floor (0.316669464111328 × 131072)
    floor (41506.5)     		ty = 41506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90707 / 41506 ti = "17/90707/41506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90707/41506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90707 ÷ 217
    90707 ÷ 131072     		x = 0.692039489746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41506 ÷ 217
    41506 ÷ 131072     		y = 0.316665649414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.692039489746094 × 2 - 1) × π
    0.384078979492188 × 3.1415926535     		Λ = 1.20661970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316665649414062 × 2 - 1) × π
    0.366668701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.15192369786995
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20661970} λ = 1.20661970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15192369786995))-π/2
    2×atan(3.1642741660376)-π/2
    2×1.26470035404341-π/2
    2.52940070808681-1.57079632675     		φ = 0.95860438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20661970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.134216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95860438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.923985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90707 KachelY 41506 1.20661970 0.95860438 69.134216 54.923985
    Oben rechts KachelX + 1 90708 KachelY 41506 1.20666764 0.95860438 69.136963 54.923985
    Unten links KachelX 90707 KachelY + 1 41507 1.20661970 0.95857683 69.134216 54.922407
    Unten rechts KachelX + 1 90708 KachelY + 1 41507 1.20666764 0.95857683 69.136963 54.922407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95860438-0.95857683) × R
    2.75499999999873e-05 × 6371000     		dl = 175.521049999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95860438-0.95857683) × R
    2.75499999999873e-05 × 6371000     		dr = 175.521049999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20661970-1.20666764) × cos(0.95860438) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.574662707299698 × 6371000     		do = 175.516782627299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20661970-1.20666764) × cos(0.95857683) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.574685253735885 × 6371000     		du = 175.523668889255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95860438)-sin(0.95857683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574662707299698-0.574685253735885)×R²
    abs(1.20666764-1.20661970)×2.25464361868211e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.25464361868211e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.25464361868211e-05×40589641000000     		ar = 30807.4943232695m²