Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9070 / 26303
↖ ↑ ↗
← S 73.019384°
W 80.354004°		 ← 356.78 m → S 73.019384°
W 80.343018°		 →
↑
356.71 m
↓
↑
356.71 m
↓
S 73.022592°
W 80.354004°		 ← 356.71 m →
127 255 m²		 S 73.022592°
W 80.343018°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276809692382812 y=0.802719116210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276809692382812 × 215)
    floor (0.276809692382812 × 32768)
    floor (9070.5)     		tx = 9070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802719116210938 × 215)
    floor (0.802719116210938 × 32768)
    floor (26303.5)     		ty = 26303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9070 / 26303 ti = "15/9070/26303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9070/26303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9070 ÷ 215
    9070 ÷ 32768     		x = 0.27679443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26303 ÷ 215
    26303 ÷ 32768     		y = 0.802703857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27679443359375 × 2 - 1) × π
    -0.4464111328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40244194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802703857421875 × 2 - 1) × π
    -0.60540771484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.90194442932535
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40244194} λ = -1.40244194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90194442932535))-π/2
    2×atan(0.149278076175018)-π/2
    2×0.148183834974848-π/2
    0.296367669949695-1.57079632675     		φ = -1.27442866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40244194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.354004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27442866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.019384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9070 KachelY 26303 -1.40244194 -1.27442866 -80.354004 -73.019384
    Oben rechts KachelX + 1 9071 KachelY 26303 -1.40225019 -1.27442866 -80.343018 -73.019384
    Unten links KachelX 9070 KachelY + 1 26304 -1.40244194 -1.27448465 -80.354004 -73.022592
    Unten rechts KachelX + 1 9071 KachelY + 1 26304 -1.40225019 -1.27448465 -80.343018 -73.022592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27442866--1.27448465) × R
    5.59899999998947e-05 × 6371000     		dl = 356.712289999329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27442866--1.27448465) × R
    5.59899999998947e-05 × 6371000     		dr = 356.712289999329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40244194--1.40225019) × cos(-1.27442866) × R
    0.000191750000000157 × 0.292048164318813 × 6371000     		do = 356.777500422603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40244194--1.40225019) × cos(-1.27448465) × R
    0.000191750000000157 × 0.291994614822817 × 6371000     		du = 356.712082256477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27442866)-sin(-1.27448465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292048164318813-0.291994614822817)×R²
    abs(-1.40225019--1.40244194)×5.3549495995453e-05×R²
    0.000191750000000157×5.3549495995453e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.3549495995453e-05×40589641000000     		ar = 127255.251496986m²