Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9069 / 9649
↖ ↑ ↗
← S 30.467614°
E 19.270020°		 ← 2 105.85 m → S 30.467614°
E 19.291992°		 →
↑
2 105.68 m
↓
↑
2 105.68 m
↓
S 30.486551°
E 19.270020°		 ← 2 105.44 m →
4 433 804 m²		 S 30.486551°
E 19.291992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.553558349609375 y=0.588958740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.553558349609375 × 214)
    floor (0.553558349609375 × 16384)
    floor (9069.5)     		tx = 9069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588958740234375 × 214)
    floor (0.588958740234375 × 16384)
    floor (9649.5)     		ty = 9649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9069 / 9649 ti = "14/9069/9649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9069/9649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9069 ÷ 214
    9069 ÷ 16384     		x = 0.55352783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9649 ÷ 214
    9649 ÷ 16384     		y = 0.58892822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55352783203125 × 2 - 1) × π
    0.1070556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.33632529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58892822265625 × 2 - 1) × π
    -0.1778564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.558752501971374
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33632529} λ = 0.33632529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.558752501971374))-π/2
    2×atan(0.571922090687216)-π/2
    2×0.519518072748603-π/2
    1.03903614549721-1.57079632675     		φ = -0.53176018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33632529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.270020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53176018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.467614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9069 KachelY 9649 0.33632529 -0.53176018 19.270020 -30.467614
    Oben rechts KachelX + 1 9070 KachelY 9649 0.33670878 -0.53176018 19.291992 -30.467614
    Unten links KachelX 9069 KachelY + 1 9650 0.33632529 -0.53209069 19.270020 -30.486551
    Unten rechts KachelX + 1 9070 KachelY + 1 9650 0.33670878 -0.53209069 19.291992 -30.486551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53176018--0.53209069) × R
    0.000330509999999951 × 6371000     		dl = 2105.67920999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53176018--0.53209069) × R
    0.000330509999999951 × 6371000     		dr = 2105.67920999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33632529-0.33670878) × cos(-0.53176018) × R
    0.000383489999999986 × 0.861915904709125 × 6371000     		do = 2105.84568612149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33632529-0.33670878) × cos(-0.53209069) × R
    0.000383489999999986 × 0.861748272126041 × 6371000     		du = 2105.43612371521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53176018)-sin(-0.53209069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861915904709125-0.861748272126041)×R²
    abs(0.33670878-0.33632529)×0.000167632583084276×R²
    0.000383489999999986×0.000167632583084276×6371000²
    0.000383489999999986×0.000167632583084276×40589641000000     		ar = 4433804.31757133m²