Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9068 / 11420
↖ ↑ ↗
← N 75.280996°
W130.187988°		 ← 155.19 m → N 75.280996°
W130.182495°		 →
↑
155.20 m
↓
↑
155.20 m
↓
N 75.279601°
W130.187988°		 ← 155.20 m →
24 086 m²		 N 75.279601°
W130.182495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138374328613281 y=0.174263000488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138374328613281 × 216)
    floor (0.138374328613281 × 65536)
    floor (9068.5)     		tx = 9068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.174263000488281 × 216)
    floor (0.174263000488281 × 65536)
    floor (11420.5)     		ty = 11420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9068 / 11420 ti = "16/9068/11420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9068/11420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9068 ÷ 216
    9068 ÷ 65536     		x = 0.13836669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11420 ÷ 216
    11420 ÷ 65536     		y = 0.17425537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13836669921875 × 2 - 1) × π
    -0.7232666015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.27220904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17425537109375 × 2 - 1) × π
    0.6514892578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.04671386617792
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27220904} λ = -2.27220904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.04671386617792))-π/2
    2×atan(7.74241663937231)-π/2
    2×1.44234878932151-π/2
    2.88469757864302-1.57079632675     		φ = 1.31390125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27220904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.187988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31390125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.280996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9068 KachelY 11420 -2.27220904 1.31390125 -130.187988 75.280996
    Oben rechts KachelX + 1 9069 KachelY 11420 -2.27211317 1.31390125 -130.182495 75.280996
    Unten links KachelX 9068 KachelY + 1 11421 -2.27220904 1.31387689 -130.187988 75.279601
    Unten rechts KachelX + 1 9069 KachelY + 1 11421 -2.27211317 1.31387689 -130.182495 75.279601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31390125-1.31387689) × R
    2.43600000000566e-05 × 6371000     		dl = 155.19756000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31390125-1.31387689) × R
    2.43600000000566e-05 × 6371000     		dr = 155.19756000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27220904--2.27211317) × cos(1.31390125) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.254078750847329 × 6371000     		do = 155.188193634423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27220904--2.27211317) × cos(1.31387689) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.254102311362828 × 6371000     		du = 155.202584109144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31390125)-sin(1.31387689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.254078750847329-0.254102311362828)×R²
    abs(-2.27211317--2.27220904)×2.35605154986218e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.35605154986218e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.35605154986218e-05×40589641000000     		ar = 24085.9456774393m²