Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90673 / 41585
↖ ↑ ↗
← N 54.799102°
E 69.040833°		 ← 176.02 m → N 54.799102°
E 69.043579°		 →
↑
176.03 m
↓
↑
176.03 m
↓
N 54.797519°
E 69.040833°		 ← 176.03 m →
30 986 m²		 N 54.797519°
E 69.043579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691783905029297 y=0.317272186279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691783905029297 × 217)
    floor (0.691783905029297 × 131072)
    floor (90673.5)     		tx = 90673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317272186279297 × 217)
    floor (0.317272186279297 × 131072)
    floor (41585.5)     		ty = 41585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90673 / 41585 ti = "17/90673/41585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90673/41585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90673 ÷ 217
    90673 ÷ 131072     		x = 0.691780090332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41585 ÷ 217
    41585 ÷ 131072     		y = 0.317268371582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.691780090332031 × 2 - 1) × π
    0.383560180664062 × 3.1415926535     		Λ = 1.20498985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317268371582031 × 2 - 1) × π
    0.365463256835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.14813668279996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20498985} λ = 1.20498985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14813668279996))-π/2
    2×atan(3.15231367366196)-π/2
    2×1.26361053880377-π/2
    2.52722107760753-1.57079632675     		φ = 0.95642475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20498985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.040833°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95642475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.799102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90673 KachelY 41585 1.20498985 0.95642475 69.040833 54.799102
    Oben rechts KachelX + 1 90674 KachelY 41585 1.20503778 0.95642475 69.043579 54.799102
    Unten links KachelX 90673 KachelY + 1 41586 1.20498985 0.95639712 69.040833 54.797519
    Unten rechts KachelX + 1 90674 KachelY + 1 41586 1.20503778 0.95639712 69.043579 54.797519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95642475-0.95639712) × R
    2.76300000000562e-05 × 6371000     		dl = 176.030730000358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95642475-0.95639712) × R
    2.76300000000562e-05 × 6371000     		dr = 176.030730000358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20498985-1.20503778) × cos(0.95642475) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.576445129006843 × 6371000     		do = 176.024454777249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20498985-1.20503778) × cos(0.95639712) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.57646770625061 × 6371000     		du = 176.031349010238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95642475)-sin(0.95639712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576445129006843-0.57646770625061)×R²
    abs(1.20503778-1.20498985)×2.25772437673077e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.25772437673077e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.25772437673077e-05×40589641000000     		ar = 30986.3200727702m²