Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9067 / 11419
↖ ↑ ↗
← N 75.282392°
W130.193482°		 ← 155.19 m → N 75.282392°
W130.187988°		 →
↑
155.20 m
↓
↑
155.20 m
↓
N 75.280996°
W130.193482°		 ← 155.20 m →
24 086 m²		 N 75.280996°
W130.187988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138359069824219 y=0.174247741699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138359069824219 × 216)
    floor (0.138359069824219 × 65536)
    floor (9067.5)     		tx = 9067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.174247741699219 × 216)
    floor (0.174247741699219 × 65536)
    floor (11419.5)     		ty = 11419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9067 / 11419 ti = "16/9067/11419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9067/11419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9067 ÷ 216
    9067 ÷ 65536     		x = 0.138351440429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11419 ÷ 216
    11419 ÷ 65536     		y = 0.174240112304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138351440429688 × 2 - 1) × π
    -0.723297119140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.27230492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.174240112304688 × 2 - 1) × π
    0.651519775390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.04680973997716
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27230492} λ = -2.27230492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.04680973997716))-π/2
    2×atan(7.74315896985528)-π/2
    2×1.44236096850432-π/2
    2.88472193700864-1.57079632675     		φ = 1.31392561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27230492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.193482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31392561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.282392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9067 KachelY 11419 -2.27230492 1.31392561 -130.193482 75.282392
    Oben rechts KachelX + 1 9068 KachelY 11419 -2.27220904 1.31392561 -130.187988 75.282392
    Unten links KachelX 9067 KachelY + 1 11420 -2.27230492 1.31390125 -130.193482 75.280996
    Unten rechts KachelX + 1 9068 KachelY + 1 11420 -2.27220904 1.31390125 -130.187988 75.280996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31392561-1.31390125) × R
    2.43600000000566e-05 × 6371000     		dl = 155.19756000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31392561-1.31390125) × R
    2.43600000000566e-05 × 6371000     		dr = 155.19756000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27230492--2.27220904) × cos(1.31392561) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.254055190181058 × 6371000     		do = 155.189988923679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27230492--2.27220904) × cos(1.31390125) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.254078750847329 × 6371000     		du = 155.204380991541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31392561)-sin(1.31390125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.254055190181058-0.254078750847329)×R²
    abs(-2.27220904--2.27230492)×2.35606662714605e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.35606662714605e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.35606662714605e-05×40589641000000     		ar = 24086.2244255155m²