Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90667 / 41573
↖ ↑ ↗
← N 54.818096°
E 69.024353°		 ← 175.98 m → N 54.818096°
E 69.027100°		 →
↑
175.97 m
↓
↑
175.97 m
↓
N 54.816514°
E 69.024353°		 ← 175.99 m →
30 967 m²		 N 54.816514°
E 69.027100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691738128662109 y=0.317180633544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691738128662109 × 217)
    floor (0.691738128662109 × 131072)
    floor (90667.5)     		tx = 90667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317180633544922 × 217)
    floor (0.317180633544922 × 131072)
    floor (41573.5)     		ty = 41573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90667 / 41573 ti = "17/90667/41573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90667/41573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90667 ÷ 217
    90667 ÷ 131072     		x = 0.691734313964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41573 ÷ 217
    41573 ÷ 131072     		y = 0.317176818847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.691734313964844 × 2 - 1) × π
    0.383468627929688 × 3.1415926535     		Λ = 1.20470222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317176818847656 × 2 - 1) × π
    0.365646362304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.14871192559541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20470222} λ = 1.20470222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14871192559541))-π/2
    2×atan(3.15412754104875)-π/2
    2×1.26377629779357-π/2
    2.52755259558714-1.57079632675     		φ = 0.95675627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20470222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.024353°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95675627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.818096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90667 KachelY 41573 1.20470222 0.95675627 69.024353 54.818096
    Oben rechts KachelX + 1 90668 KachelY 41573 1.20475016 0.95675627 69.027100 54.818096
    Unten links KachelX 90667 KachelY + 1 41574 1.20470222 0.95672865 69.024353 54.816514
    Unten rechts KachelX + 1 90668 KachelY + 1 41574 1.20475016 0.95672865 69.027100 54.816514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95675627-0.95672865) × R
    2.7620000000006e-05 × 6371000     		dl = 175.967020000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95675627-0.95672865) × R
    2.7620000000006e-05 × 6371000     		dr = 175.967020000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20470222-1.20475016) × cos(0.95675627) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.576174200454342 × 6371000     		do = 175.97843154256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20470222-1.20475016) × cos(0.95672865) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.576196774804041 × 6371000     		du = 175.985326330022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95675627)-sin(0.95672865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576174200454342-0.576196774804041)×R²
    abs(1.20475016-1.20470222)×2.25743496983233e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.25743496983233e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.25743496983233e-05×40589641000000     		ar = 30967.0068122685m²