Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9066 / 26168
↖ ↑ ↗
← S 72.580828°
W 80.397949°		 ← 365.71 m → S 72.580828°
W 80.386963°		 →
↑
365.70 m
↓
↑
365.70 m
↓
S 72.584117°
W 80.397949°		 ← 365.64 m →
133 726 m²		 S 72.584117°
W 80.386963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276687622070312 y=0.798599243164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276687622070312 × 215)
    floor (0.276687622070312 × 32768)
    floor (9066.5)     		tx = 9066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798599243164062 × 215)
    floor (0.798599243164062 × 32768)
    floor (26168.5)     		ty = 26168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9066 / 26168 ti = "15/9066/26168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9066/26168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9066 ÷ 215
    9066 ÷ 32768     		x = 0.27667236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26168 ÷ 215
    26168 ÷ 32768     		y = 0.798583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27667236328125 × 2 - 1) × π
    -0.4466552734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40320893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798583984375 × 2 - 1) × π
    -0.59716796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.87605850353052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40320893} λ = -1.40320893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87605850353052))-π/2
    2×atan(0.153192725952528)-π/2
    2×0.152010946056657-π/2
    0.304021892113315-1.57079632675     		φ = -1.26677443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40320893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.397949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26677443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.580828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9066 KachelY 26168 -1.40320893 -1.26677443 -80.397949 -72.580828
    Oben rechts KachelX + 1 9067 KachelY 26168 -1.40301718 -1.26677443 -80.386963 -72.580828
    Unten links KachelX 9066 KachelY + 1 26169 -1.40320893 -1.26683183 -80.397949 -72.584117
    Unten rechts KachelX + 1 9067 KachelY + 1 26169 -1.40301718 -1.26683183 -80.386963 -72.584117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26677443--1.26683183) × R
    5.74000000002073e-05 × 6371000     		dl = 365.695400001321m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26677443--1.26683183) × R
    5.74000000002073e-05 × 6371000     		dr = 365.695400001321m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40320893--1.40301718) × cos(-1.26677443) × R
    0.000191749999999935 × 0.299360070953427 × 6371000     		do = 365.710012559367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40320893--1.40301718) × cos(-1.26683183) × R
    0.000191749999999935 × 0.299305302812015 × 6371000     		du = 365.643105648169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26677443)-sin(-1.26683183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299360070953427-0.299305302812015)×R²
    abs(-1.40301718--1.40320893)×5.47681414119205e-05×R²
    0.000191749999999935×5.47681414119205e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.47681414119205e-05×40589641000000     		ar = 133726.235589548m²