Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 9065 / 7777
↖ ↑ ↗
← N 68.265319°
W 80.408935°		 ← 452.36 m → N 68.265319°
W 80.397949°		 →
↑
452.40 m
↓
↑
452.40 m
↓
N 68.261250°
W 80.408935°		 ← 452.44 m →
204 668 m²		 N 68.261250°
W 80.397949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276657104492188 y=0.237350463867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276657104492188 × 215)
    floor (0.276657104492188 × 32768)
    floor (9065.5)     		tx = 9065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237350463867188 × 215)
    floor (0.237350463867188 × 32768)
    floor (7777.5)     		ty = 7777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9065 / 7777 ti = "15/9065/7777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9065/7777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9065 ÷ 215
    9065 ÷ 32768     		x = 0.276641845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7777 ÷ 215
    7777 ÷ 32768     		y = 0.237335205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276641845703125 × 2 - 1) × π
    -0.44671630859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40340067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237335205078125 × 2 - 1) × π
    0.52532958984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.65037158011929
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40340067} λ = -1.40340067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65037158011929))-π/2
    2×atan(5.20891499687822)-π/2
    2×1.38112545263926-π/2
    2.76225090527852-1.57079632675     		φ = 1.19145458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40340067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.408935°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19145458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.265319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9065 KachelY 7777 -1.40340067 1.19145458 -80.408935 68.265319
    Oben rechts KachelX + 1 9066 KachelY 7777 -1.40320893 1.19145458 -80.397949 68.265319
    Unten links KachelX 9065 KachelY + 1 7778 -1.40340067 1.19138357 -80.408935 68.261250
    Unten rechts KachelX + 1 9066 KachelY + 1 7778 -1.40320893 1.19138357 -80.397949 68.261250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19145458-1.19138357) × R
    7.10100000000935e-05 × 6371000     		dl = 452.404710000596m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19145458-1.19138357) × R
    7.10100000000935e-05 × 6371000     		dr = 452.404710000596m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40340067--1.40320893) × cos(1.19145458) × R
    0.000191739999999996 × 0.370309092624881 × 6371000     		do = 452.360529790139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40340067--1.40320893) × cos(1.19138357) × R
    0.000191739999999996 × 0.370375053490455 × 6371000     		du = 452.441105970122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19145458)-sin(1.19138357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370309092624881-0.370375053490455)×R²
    abs(-1.40320893--1.40340067)×6.59608655741994e-05×R²
    0.000191739999999996×6.59608655741994e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.59608655741994e-05×40589641000000     		ar = 204668.260903239m²