Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9064 / 7778
↖ ↑ ↗
← N 68.261250°
W 80.419922°		 ← 452.46 m → N 68.261250°
W 80.408935°		 →
↑
452.53 m
↓
↑
452.53 m
↓
N 68.257181°
W 80.419922°		 ← 452.55 m →
204 773 m²		 N 68.257181°
W 80.408935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276626586914062 y=0.237380981445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276626586914062 × 215)
    floor (0.276626586914062 × 32768)
    floor (9064.5)     		tx = 9064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237380981445312 × 215)
    floor (0.237380981445312 × 32768)
    floor (7778.5)     		ty = 7778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9064 / 7778 ti = "15/9064/7778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9064/7778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9064 ÷ 215
    9064 ÷ 32768     		x = 0.276611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7778 ÷ 215
    7778 ÷ 32768     		y = 0.23736572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276611328125 × 2 - 1) × π
    -0.44677734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40359242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23736572265625 × 2 - 1) × π
    0.5252685546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.65017983252081
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40359242} λ = -1.40359242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65017983252081))-π/2
    2×atan(5.20791629568922)-π/2
    2×1.38108994653754-π/2
    2.76217989307509-1.57079632675     		φ = 1.19138357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40359242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.419922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19138357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.261250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9064 KachelY 7778 -1.40359242 1.19138357 -80.419922 68.261250
    Oben rechts KachelX + 1 9065 KachelY 7778 -1.40340067 1.19138357 -80.408935 68.261250
    Unten links KachelX 9064 KachelY + 1 7779 -1.40359242 1.19131254 -80.419922 68.257181
    Unten rechts KachelX + 1 9065 KachelY + 1 7779 -1.40340067 1.19131254 -80.408935 68.257181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19138357-1.19131254) × R
    7.10299999999719e-05 × 6371000     		dl = 452.532129999821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19138357-1.19131254) × R
    7.10299999999719e-05 × 6371000     		dr = 452.532129999821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40359242--1.40340067) × cos(1.19138357) × R
    0.000191750000000157 × 0.370375053490455 × 6371000     		do = 452.46470256516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40359242--1.40340067) × cos(1.19131254) × R
    0.000191750000000157 × 0.370441031065563 × 6371000     		du = 452.545303360531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19138357)-sin(1.19131254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370375053490455-0.370441031065563)×R²
    abs(-1.40340067--1.40359242)×6.59775751073455e-05×R²
    0.000191750000000157×6.59775751073455e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.59775751073455e-05×40589641000000     		ar = 204773.052912336m²