Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9064 / 26167
↖ ↑ ↗
← S 72.577540°
W 80.419922°		 ← 365.78 m → S 72.577540°
W 80.408935°		 →
↑
365.70 m
↓
↑
365.70 m
↓
S 72.580828°
W 80.419922°		 ← 365.71 m →
133 751 m²		 S 72.580828°
W 80.408935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276626586914062 y=0.798568725585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276626586914062 × 215)
    floor (0.276626586914062 × 32768)
    floor (9064.5)     		tx = 9064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798568725585938 × 215)
    floor (0.798568725585938 × 32768)
    floor (26167.5)     		ty = 26167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9064 / 26167 ti = "15/9064/26167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9064/26167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9064 ÷ 215
    9064 ÷ 32768     		x = 0.276611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26167 ÷ 215
    26167 ÷ 32768     		y = 0.798553466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276611328125 × 2 - 1) × π
    -0.44677734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40359242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798553466796875 × 2 - 1) × π
    -0.59710693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.87586675593204
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40359242} λ = -1.40359242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87586675593204))-π/2
    2×atan(0.153222103106243)-π/2
    2×0.15203964946918-π/2
    0.304079298938359-1.57079632675     		φ = -1.26671703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40359242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.419922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26671703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.577540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9064 KachelY 26167 -1.40359242 -1.26671703 -80.419922 -72.577540
    Oben rechts KachelX + 1 9065 KachelY 26167 -1.40340067 -1.26671703 -80.408935 -72.577540
    Unten links KachelX 9064 KachelY + 1 26168 -1.40359242 -1.26677443 -80.419922 -72.580828
    Unten rechts KachelX + 1 9065 KachelY + 1 26168 -1.40340067 -1.26677443 -80.408935 -72.580828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26671703--1.26677443) × R
    5.73999999999852e-05 × 6371000     		dl = 365.695399999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26671703--1.26677443) × R
    5.73999999999852e-05 × 6371000     		dr = 365.695399999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40359242--1.40340067) × cos(-1.26671703) × R
    0.000191750000000157 × 0.299414838108519 × 6371000     		do = 365.776918266062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40359242--1.40340067) × cos(-1.26677443) × R
    0.000191750000000157 × 0.299360070953427 × 6371000     		du = 365.71001255979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26671703)-sin(-1.26677443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299414838108519-0.299360070953427)×R²
    abs(-1.40340067--1.40359242)×5.47671550921169e-05×R²
    0.000191750000000157×5.47671550921169e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.47671550921169e-05×40589641000000     		ar = 133750.702918072m²