Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90622 / 41475
↖ ↑ ↗
← N 54.972885°
E 68.900757°		 ← 175.30 m → N 54.972885°
E 68.903503°		 →
↑
175.33 m
↓
↑
175.33 m
↓
N 54.971308°
E 68.900757°		 ← 175.31 m →
30 737 m²		 N 54.971308°
E 68.903503°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691394805908203 y=0.316432952880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691394805908203 × 217)
    floor (0.691394805908203 × 131072)
    floor (90622.5)     		tx = 90622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316432952880859 × 217)
    floor (0.316432952880859 × 131072)
    floor (41475.5)     		ty = 41475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90622 / 41475 ti = "17/90622/41475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90622/41475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90622 ÷ 217
    90622 ÷ 131072     		x = 0.691390991210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41475 ÷ 217
    41475 ÷ 131072     		y = 0.316429138183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.691390991210938 × 2 - 1) × π
    0.382781982421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.20254506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316429138183594 × 2 - 1) × π
    0.367141723632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.15340974175817
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20254506} λ = 1.20254506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15340974175817))-π/2
    2×atan(3.16897991192918)-π/2
    2×1.2651270814549-π/2
    2.53025416290981-1.57079632675     		φ = 0.95945784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20254506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.900757°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95945784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.972885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90622 KachelY 41475 1.20254506 0.95945784 68.900757 54.972885
    Oben rechts KachelX + 1 90623 KachelY 41475 1.20259300 0.95945784 68.903503 54.972885
    Unten links KachelX 90622 KachelY + 1 41476 1.20254506 0.95943032 68.900757 54.971308
    Unten rechts KachelX + 1 90623 KachelY + 1 41476 1.20259300 0.95943032 68.903503 54.971308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95945784-0.95943032) × R
    2.75200000000586e-05 × 6371000     		dl = 175.329920000373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95945784-0.95943032) × R
    2.75200000000586e-05 × 6371000     		dr = 175.329920000373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20254506-1.20259300) × cos(0.95945784) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.573964034661865 × 6371000     		do = 175.303390019871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20254506-1.20259300) × cos(0.95943032) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.573986570036106 × 6371000     		du = 175.310272903224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95945784)-sin(0.95943032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573964034661865-0.573986570036106)×R²
    abs(1.20259300-1.20254506)×2.25353742403511e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.25353742403511e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.25353742403511e-05×40589641000000     		ar = 30736.5327375201m²