Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90621 / 41481
↖ ↑ ↗
← N 54.963425°
E 68.898010°		 ← 175.31 m → N 54.963425°
E 68.900757°		 →
↑
175.33 m
↓
↑
175.33 m
↓
N 54.961848°
E 68.898010°		 ← 175.31 m →
30 737 m²		 N 54.961848°
E 68.900757°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691387176513672 y=0.316478729248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691387176513672 × 217)
    floor (0.691387176513672 × 131072)
    floor (90621.5)     		tx = 90621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316478729248047 × 217)
    floor (0.316478729248047 × 131072)
    floor (41481.5)     		ty = 41481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90621 / 41481 ti = "17/90621/41481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90621/41481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90621 ÷ 217
    90621 ÷ 131072     		x = 0.691383361816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41481 ÷ 217
    41481 ÷ 131072     		y = 0.316474914550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.691383361816406 × 2 - 1) × π
    0.382766723632812 × 3.1415926535     		Λ = 1.20249713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316474914550781 × 2 - 1) × π
    0.367050170898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.15312212036045
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20249713} λ = 1.20249713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15312212036045))-π/2
    2×atan(3.16806857656362)-π/2
    2×1.26504452956464-π/2
    2.53008905912927-1.57079632675     		φ = 0.95929273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20249713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.898010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95929273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.963425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90621 KachelY 41481 1.20249713 0.95929273 68.898010 54.963425
    Oben rechts KachelX + 1 90622 KachelY 41481 1.20254506 0.95929273 68.900757 54.963425
    Unten links KachelX 90621 KachelY + 1 41482 1.20249713 0.95926521 68.898010 54.961848
    Unten rechts KachelX + 1 90622 KachelY + 1 41482 1.20254506 0.95926521 68.900757 54.961848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95929273-0.95926521) × R
    2.75200000000586e-05 × 6371000     		dl = 175.329920000373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95929273-0.95926521) × R
    2.75200000000586e-05 × 6371000     		dr = 175.329920000373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20249713-1.20254506) × cos(0.95929273) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.574099232198474 × 6371000     		do = 175.308106965675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20249713-1.20254506) × cos(0.95926521) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.574121764964363 × 6371000     		du = 175.314987616808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95929273)-sin(0.95926521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574099232198474-0.574121764964363)×R²
    abs(1.20254506-1.20249713)×2.25327658885943e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.25327658885943e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.25327658885943e-05×40589641000000     		ar = 30737.3595636925m²