Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9062 / 26290
↖ ↑ ↗
← S 72.977622°
W 80.441895°		 ← 357.63 m → S 72.977622°
W 80.430908°		 →
↑
357.60 m
↓
↑
357.60 m
↓
S 72.980838°
W 80.441895°		 ← 357.56 m →
127 878 m²		 S 72.980838°
W 80.430908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276565551757812 y=0.802322387695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276565551757812 × 215)
    floor (0.276565551757812 × 32768)
    floor (9062.5)     		tx = 9062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802322387695312 × 215)
    floor (0.802322387695312 × 32768)
    floor (26290.5)     		ty = 26290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9062 / 26290 ti = "15/9062/26290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9062/26290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9062 ÷ 215
    9062 ÷ 32768     		x = 0.27655029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26290 ÷ 215
    26290 ÷ 32768     		y = 0.80230712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27655029296875 × 2 - 1) × π
    -0.4468994140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40397592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80230712890625 × 2 - 1) × π
    -0.6046142578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.8994517105451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40397592} λ = -1.40397592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8994517105451))-π/2
    2×atan(0.149650648605206)-π/2
    2×0.148548266155969-π/2
    0.297096532311937-1.57079632675     		φ = -1.27369979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40397592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.441895°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27369979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.977622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9062 KachelY 26290 -1.40397592 -1.27369979 -80.441895 -72.977622
    Oben rechts KachelX + 1 9063 KachelY 26290 -1.40378417 -1.27369979 -80.430908 -72.977622
    Unten links KachelX 9062 KachelY + 1 26291 -1.40397592 -1.27375592 -80.441895 -72.980838
    Unten rechts KachelX + 1 9063 KachelY + 1 26291 -1.40378417 -1.27375592 -80.430908 -72.980838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27369979--1.27375592) × R
    5.61299999999321e-05 × 6371000     		dl = 357.604229999567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27369979--1.27375592) × R
    5.61299999999321e-05 × 6371000     		dr = 357.604229999567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40397592--1.40378417) × cos(-1.27369979) × R
    0.000191749999999935 × 0.292745180582519 × 6371000     		do = 357.629002847822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40397592--1.40378417) × cos(-1.27375592) × R
    0.000191749999999935 × 0.292691509149007 × 6371000     		du = 357.56343571804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27369979)-sin(-1.27375592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292745180582519-0.292691509149007)×R²
    abs(-1.40378417--1.40397592)×5.36714335119814e-05×R²
    0.000191749999999935×5.36714335119814e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.36714335119814e-05×40589641000000     		ar = 127877.920681246m²