Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90619 / 41477
↖ ↑ ↗
← N 54.969732°
E 68.892517°		 ← 175.32 m → N 54.969732°
E 68.895264°		 →
↑
175.33 m
↓
↑
175.33 m
↓
N 54.968155°
E 68.892517°		 ← 175.32 m →
30 739 m²		 N 54.968155°
E 68.895264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691371917724609 y=0.316448211669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691371917724609 × 217)
    floor (0.691371917724609 × 131072)
    floor (90619.5)     		tx = 90619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316448211669922 × 217)
    floor (0.316448211669922 × 131072)
    floor (41477.5)     		ty = 41477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90619 / 41477 ti = "17/90619/41477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90619/41477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90619 ÷ 217
    90619 ÷ 131072     		x = 0.691368103027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41477 ÷ 217
    41477 ÷ 131072     		y = 0.316444396972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.691368103027344 × 2 - 1) × π
    0.382736206054688 × 3.1415926535     		Λ = 1.20240125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316444396972656 × 2 - 1) × π
    0.367111206054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.15331386795893
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20240125} λ = 1.20240125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15331386795893))-π/2
    2×atan(3.16867610434913)-π/2
    2×1.26509956631837-π/2
    2.53019913263674-1.57079632675     		φ = 0.95940281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20240125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.892517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95940281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.969732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90619 KachelY 41477 1.20240125 0.95940281 68.892517 54.969732
    Oben rechts KachelX + 1 90620 KachelY 41477 1.20244919 0.95940281 68.895264 54.969732
    Unten links KachelX 90619 KachelY + 1 41478 1.20240125 0.95937529 68.892517 54.968155
    Unten rechts KachelX + 1 90620 KachelY + 1 41478 1.20244919 0.95937529 68.895264 54.968155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95940281-0.95937529) × R
    2.75200000000586e-05 × 6371000     		dl = 175.329920000373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95940281-0.95937529) × R
    2.75200000000586e-05 × 6371000     		dr = 175.329920000373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20240125-1.20244919) × cos(0.95940281) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.574009096787148 × 6371000     		do = 175.317153152831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20240125-1.20244919) × cos(0.95937529) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.574031631292111 × 6371000     		du = 175.324035770685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95940281)-sin(0.95937529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574009096787148-0.574031631292111)×R²
    abs(1.20244919-1.20240125)×2.25345049633674e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.25345049633674e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.25345049633674e-05×40589641000000     		ar = 30738.9458031772m²