Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9061 / 7774
↖ ↑ ↗
← N 68.277521°
W 80.452881°		 ← 452.12 m → N 68.277521°
W 80.441895°		 →
↑
452.21 m
↓
↑
452.21 m
↓
N 68.273454°
W 80.452881°		 ← 452.20 m →
204 473 m²		 N 68.273454°
W 80.441895°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276535034179688 y=0.237258911132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276535034179688 × 215)
    floor (0.276535034179688 × 32768)
    floor (9061.5)     		tx = 9061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237258911132812 × 215)
    floor (0.237258911132812 × 32768)
    floor (7774.5)     		ty = 7774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9061 / 7774 ti = "15/9061/7774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9061/7774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9061 ÷ 215
    9061 ÷ 32768     		x = 0.276519775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7774 ÷ 215
    7774 ÷ 32768     		y = 0.23724365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276519775390625 × 2 - 1) × π
    -0.44696044921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40416766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23724365234375 × 2 - 1) × π
    0.5255126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.65094682291473
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40416766} λ = -1.40416766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65094682291473))-π/2
    2×atan(5.21191224969363)-π/2
    2×1.38123193300635-π/2
    2.7624638660127-1.57079632675     		φ = 1.19166754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40416766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.452881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19166754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.277521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9061 KachelY 7774 -1.40416766 1.19166754 -80.452881 68.277521
    Oben rechts KachelX + 1 9062 KachelY 7774 -1.40397592 1.19166754 -80.441895 68.277521
    Unten links KachelX 9061 KachelY + 1 7775 -1.40416766 1.19159656 -80.452881 68.273454
    Unten rechts KachelX + 1 9062 KachelY + 1 7775 -1.40397592 1.19159656 -80.441895 68.273454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19166754-1.19159656) × R
    7.09800000000538e-05 × 6371000     		dl = 452.213580000343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19166754-1.19159656) × R
    7.09800000000538e-05 × 6371000     		dr = 452.213580000343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40416766--1.40397592) × cos(1.19166754) × R
    0.000191739999999996 × 0.370111263855086 × 6371000     		do = 452.11886700385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40416766--1.40397592) × cos(1.19159656) × R
    0.000191739999999996 × 0.37017720245075 × 6371000     		du = 452.199415979454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19166754)-sin(1.19159656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370111263855086-0.37017720245075)×R²
    abs(-1.40397592--1.40416766)×6.59385956638392e-05×R²
    0.000191739999999996×6.59385956638392e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.59385956638392e-05×40589641000000     		ar = 204472.504189297m²