Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9061 / 25757
↖ ↑ ↗
← S 71.177123°
W 80.452881°		 ← 394.13 m → S 71.177123°
W 80.441895°		 →
↑
394.17 m
↓
↑
394.17 m
↓
S 71.180667°
W 80.452881°		 ← 394.06 m →
155 343 m²		 S 71.180667°
W 80.441895°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276535034179688 y=0.786056518554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276535034179688 × 215)
    floor (0.276535034179688 × 32768)
    floor (9061.5)     		tx = 9061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786056518554688 × 215)
    floor (0.786056518554688 × 32768)
    floor (25757.5)     		ty = 25757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9061 / 25757 ti = "15/9061/25757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9061/25757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9061 ÷ 215
    9061 ÷ 32768     		x = 0.276519775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25757 ÷ 215
    25757 ÷ 32768     		y = 0.786041259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276519775390625 × 2 - 1) × π
    -0.44696044921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40416766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786041259765625 × 2 - 1) × π
    -0.57208251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79725024055515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40416766} λ = -1.40416766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79725024055515))-π/2
    2×atan(0.165754045900968)-π/2
    2×0.164260590878274-π/2
    0.328521181756547-1.57079632675     		φ = -1.24227514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40416766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.452881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24227514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.177123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9061 KachelY 25757 -1.40416766 -1.24227514 -80.452881 -71.177123
    Oben rechts KachelX + 1 9062 KachelY 25757 -1.40397592 -1.24227514 -80.441895 -71.177123
    Unten links KachelX 9061 KachelY + 1 25758 -1.40416766 -1.24233701 -80.452881 -71.180667
    Unten rechts KachelX + 1 9062 KachelY + 1 25758 -1.40397592 -1.24233701 -80.441895 -71.180667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24227514--1.24233701) × R
    6.18699999999084e-05 × 6371000     		dl = 394.173769999416m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24227514--1.24233701) × R
    6.18699999999084e-05 × 6371000     		dr = 394.173769999416m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40416766--1.40397592) × cos(-1.24227514) × R
    0.000191739999999996 × 0.322643654671667 × 6371000     		do = 394.133596683107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40416766--1.40397592) × cos(-1.24233701) × R
    0.000191739999999996 × 0.32258509283035 × 6371000     		du = 394.062058970177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24227514)-sin(-1.24233701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322643654671667-0.32258509283035)×R²
    abs(-1.40397592--1.40416766)×5.85618413169731e-05×R²
    0.000191739999999996×5.85618413169731e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.85618413169731e-05×40589641000000     		ar = 155343.026592765m²