Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 906 / 443
↖ ↑ ↗
← N 70.902268°
W 20.742188°		 ← 6 395.08 m → N 70.902268°
W 20.566406°		 →
↑
6 404.38 m
↓
↑
6 404.38 m
↓
N 70.844672°
W 20.742188°		 ← 6 413.65 m →
41 016 009 m²		 N 70.844672°
W 20.566406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442626953125 y=0.216552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442626953125 × 211)
    floor (0.442626953125 × 2048)
    floor (906.5)     		tx = 906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216552734375 × 211)
    floor (0.216552734375 × 2048)
    floor (443.5)     		ty = 443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 906 / 443 ti = "11/906/443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/906/443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 906 ÷ 211
    906 ÷ 2048     		x = 0.4423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 443 ÷ 211
    443 ÷ 2048     		y = 0.21630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4423828125 × 2 - 1) × π
    -0.115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36201947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21630859375 × 2 - 1) × π
    0.5673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78248567547217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36201947} λ = -0.36201947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78248567547217))-π/2
    2×atan(5.94461445148587)-π/2
    2×1.40413717758987-π/2
    2.80827435517974-1.57079632675     		φ = 1.23747803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36201947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.742188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23747803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.902268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 906 KachelY 443 -0.36201947 1.23747803 -20.742188 70.902268
    Oben rechts KachelX + 1 907 KachelY 443 -0.35895150 1.23747803 -20.566406 70.902268
    Unten links KachelX 906 KachelY + 1 444 -0.36201947 1.23647279 -20.742188 70.844672
    Unten rechts KachelX + 1 907 KachelY + 1 444 -0.35895150 1.23647279 -20.566406 70.844672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23747803-1.23647279) × R
    0.0010052399999998 × 6371000     		dl = 6404.3840399987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23747803-1.23647279) × R
    0.0010052399999998 × 6371000     		dr = 6404.3840399987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36201947--0.35895150) × cos(1.23747803) × R
    0.00306797000000003 × 0.32718048787772 × 6371000     		do = 6395.08187920256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36201947--0.35895150) × cos(1.23647279) × R
    0.00306797000000003 × 0.328130235874851 × 6371000     		du = 6413.6456885717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23747803)-sin(1.23647279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32718048787772-0.328130235874851)×R²
    abs(-0.35895150--0.36201947)×0.0009497479971316×R²
    0.00306797000000003×0.0009497479971316×6371000²
    0.00306797000000003×0.0009497479971316×40589641000000     		ar = 41016008.6577883m²