Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 9058 / 26147
↖ ↑ ↗
← S 72.511629°
W 80.485840°		 ← 367.12 m → S 72.511629°
W 80.474854°		 →
↑
367.10 m
↓
↑
367.10 m
↓
S 72.514931°
W 80.485840°		 ← 367.05 m →
134 755 m²		 S 72.514931°
W 80.474854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276443481445312 y=0.797958374023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276443481445312 × 215)
    floor (0.276443481445312 × 32768)
    floor (9058.5)     		tx = 9058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797958374023438 × 215)
    floor (0.797958374023438 × 32768)
    floor (26147.5)     		ty = 26147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9058 / 26147 ti = "15/9058/26147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9058/26147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9058 ÷ 215
    9058 ÷ 32768     		x = 0.27642822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26147 ÷ 215
    26147 ÷ 32768     		y = 0.797943115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27642822265625 × 2 - 1) × π
    -0.4471435546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40474291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797943115234375 × 2 - 1) × π
    -0.59588623046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.87203180396243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40474291} λ = -1.40474291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87203180396243))-π/2
    2×atan(0.153810830661759)-π/2
    2×0.152614821748726-π/2
    0.305229643497451-1.57079632675     		φ = -1.26556668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40474291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.485840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26556668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.511629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9058 KachelY 26147 -1.40474291 -1.26556668 -80.485840 -72.511629
    Oben rechts KachelX + 1 9059 KachelY 26147 -1.40455116 -1.26556668 -80.474854 -72.511629
    Unten links KachelX 9058 KachelY + 1 26148 -1.40474291 -1.26562430 -80.485840 -72.514931
    Unten rechts KachelX + 1 9059 KachelY + 1 26148 -1.40455116 -1.26562430 -80.474854 -72.514931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26556668--1.26562430) × R
    5.76199999999805e-05 × 6371000     		dl = 367.097019999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26556668--1.26562430) × R
    5.76199999999805e-05 × 6371000     		dr = 367.097019999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40474291--1.40455116) × cos(-1.26556668) × R
    0.000191749999999935 × 0.300512215184437 × 6371000     		do = 367.11751717363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40474291--1.40455116) × cos(-1.26562430) × R
    0.000191749999999935 × 0.300457257999204 × 6371000     		du = 367.050379319079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26556668)-sin(-1.26562430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300512215184437-0.300457257999204)×R²
    abs(-1.40455116--1.40474291)×5.49571852334063e-05×R²
    0.000191749999999935×5.49571852334063e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.49571852334063e-05×40589641000000     		ar = 134755.423528067m²