Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9058 / 25754
↖ ↑ ↗
← S 71.166486°
W 80.485840°		 ← 394.37 m → S 71.166486°
W 80.474854°		 →
↑
394.30 m
↓
↑
394.30 m
↓
S 71.170032°
W 80.485840°		 ← 394.30 m →
155 486 m²		 S 71.170032°
W 80.474854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276443481445312 y=0.785964965820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276443481445312 × 215)
    floor (0.276443481445312 × 32768)
    floor (9058.5)     		tx = 9058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785964965820312 × 215)
    floor (0.785964965820312 × 32768)
    floor (25754.5)     		ty = 25754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9058 / 25754 ti = "15/9058/25754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9058/25754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9058 ÷ 215
    9058 ÷ 32768     		x = 0.27642822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25754 ÷ 215
    25754 ÷ 32768     		y = 0.78594970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27642822265625 × 2 - 1) × π
    -0.4471435546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40474291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78594970703125 × 2 - 1) × π
    -0.5718994140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7966749977597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40474291} λ = -1.40474291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7966749977597))-π/2
    2×atan(0.165849422151308)-π/2
    2×0.164353415363494-π/2
    0.328706830726989-1.57079632675     		φ = -1.24208950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40474291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.485840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24208950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.166486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9058 KachelY 25754 -1.40474291 -1.24208950 -80.485840 -71.166486
    Oben rechts KachelX + 1 9059 KachelY 25754 -1.40455116 -1.24208950 -80.474854 -71.166486
    Unten links KachelX 9058 KachelY + 1 25755 -1.40474291 -1.24215139 -80.485840 -71.170032
    Unten rechts KachelX + 1 9059 KachelY + 1 25755 -1.40455116 -1.24215139 -80.474854 -71.170032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24208950--1.24215139) × R
    6.18900000000089e-05 × 6371000     		dl = 394.301190000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24208950--1.24215139) × R
    6.18900000000089e-05 × 6371000     		dr = 394.301190000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40474291--1.40455116) × cos(-1.24208950) × R
    0.000191749999999935 × 0.32281936117826 × 6371000     		do = 394.368802275155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40474291--1.40455116) × cos(-1.24215139) × R
    0.000191749999999935 × 0.322760784113743 × 6371000     		du = 394.297242233992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24208950)-sin(-1.24215139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32281936117826-0.322760784113743)×R²
    abs(-1.40455116--1.40474291)×5.85770645169514e-05×R²
    0.000191749999999935×5.85770645169514e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.85770645169514e-05×40589641000000     		ar = 155485.979981525m²