Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9058 / 11423
↖ ↑ ↗
← N 75.276809°
W130.242920°		 ← 155.23 m → N 75.276809°
W130.237427°		 →
↑
155.20 m
↓
↑
155.20 m
↓
N 75.275413°
W130.242920°		 ← 155.25 m →
24 093 m²		 N 75.275413°
W130.237427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138221740722656 y=0.174308776855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138221740722656 × 216)
    floor (0.138221740722656 × 65536)
    floor (9058.5)     		tx = 9058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.174308776855469 × 216)
    floor (0.174308776855469 × 65536)
    floor (11423.5)     		ty = 11423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9058 / 11423 ti = "16/9058/11423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9058/11423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9058 ÷ 216
    9058 ÷ 65536     		x = 0.138214111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11423 ÷ 216
    11423 ÷ 65536     		y = 0.174301147460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138214111328125 × 2 - 1) × π
    -0.72357177734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.27316778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.174301147460938 × 2 - 1) × π
    0.651397705078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.0464262447802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27316778} λ = -2.27316778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0464262447802))-π/2
    2×atan(7.74019007489591)-π/2
    2×1.44231224499631-π/2
    2.88462448999263-1.57079632675     		φ = 1.31382816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27316778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.242920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31382816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.276809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9058 KachelY 11423 -2.27316778 1.31382816 -130.242920 75.276809
    Oben rechts KachelX + 1 9059 KachelY 11423 -2.27307191 1.31382816 -130.237427 75.276809
    Unten links KachelX 9058 KachelY + 1 11424 -2.27316778 1.31380380 -130.242920 75.275413
    Unten rechts KachelX + 1 9059 KachelY + 1 11424 -2.27307191 1.31380380 -130.237427 75.275413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31382816-1.31380380) × R
    2.43599999998345e-05 × 6371000     		dl = 155.197559998946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31382816-1.31380380) × R
    2.43599999998345e-05 × 6371000     		dr = 155.197559998946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27316778--2.27307191) × cos(1.31382816) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.254149441613101 × 6371000     		do = 155.231370689608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27316778--2.27307191) × cos(1.31380380) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.254173001676135 × 6371000     		du = 155.245760887969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31382816)-sin(1.31380380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.254149441613101-0.254173001676135)×R²
    abs(-2.27307191--2.27316778)×2.35600630343336e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.35600630343336e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.35600630343336e-05×40589641000000     		ar = 24092.6466295376m²