Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9057 / 11424
↖ ↑ ↗
← N 75.275413°
W130.248413°		 ← 155.25 m → N 75.275413°
W130.242920°		 →
↑
155.26 m
↓
↑
155.26 m
↓
N 75.274017°
W130.248413°		 ← 155.26 m →
24 105 m²		 N 75.274017°
W130.242920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138206481933594 y=0.174324035644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138206481933594 × 216)
    floor (0.138206481933594 × 65536)
    floor (9057.5)     		tx = 9057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.174324035644531 × 216)
    floor (0.174324035644531 × 65536)
    floor (11424.5)     		ty = 11424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9057 / 11424 ti = "16/9057/11424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9057/11424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9057 ÷ 216
    9057 ÷ 65536     		x = 0.138198852539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11424 ÷ 216
    11424 ÷ 65536     		y = 0.17431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138198852539062 × 2 - 1) × π
    -0.723602294921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.27326365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17431640625 × 2 - 1) × π
    0.6513671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.04633037098096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27326365} λ = -2.27326365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.04633037098096))-π/2
    2×atan(7.73944802903853)-π/2
    2×1.44230006129533-π/2
    2.88460012259066-1.57079632675     		φ = 1.31380380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27326365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.248413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31380380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.275413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9057 KachelY 11424 -2.27326365 1.31380380 -130.248413 75.275413
    Oben rechts KachelX + 1 9058 KachelY 11424 -2.27316778 1.31380380 -130.242920 75.275413
    Unten links KachelX 9057 KachelY + 1 11425 -2.27326365 1.31377943 -130.248413 75.274017
    Unten rechts KachelX + 1 9058 KachelY + 1 11425 -2.27316778 1.31377943 -130.242920 75.274017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31380380-1.31377943) × R
    2.43699999999958e-05 × 6371000     		dl = 155.261269999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31380380-1.31377943) × R
    2.43699999999958e-05 × 6371000     		dr = 155.261269999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27326365--2.27316778) × cos(1.31380380) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.254173001676135 × 6371000     		do = 155.245760887969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27326365--2.27316778) × cos(1.31377943) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.254196571259867 × 6371000     		du = 155.260156901457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31380380)-sin(1.31377943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.254173001676135-0.254196571259867)×R²
    abs(-2.27316778--2.27326365)×2.35695837315641e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.35695837315641e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.35695837315641e-05×40589641000000     		ar = 24104.771570156m²