Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9055 / 26309
↖ ↑ ↗
← S 73.038624°
W 80.518799°		 ← 356.39 m → S 73.038624°
W 80.507812°		 →
↑
356.33 m
↓
↑
356.33 m
↓
S 73.041829°
W 80.518799°		 ← 356.32 m →
126 979 m²		 S 73.041829°
W 80.507812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276351928710938 y=0.802902221679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276351928710938 × 215)
    floor (0.276351928710938 × 32768)
    floor (9055.5)     		tx = 9055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802902221679688 × 215)
    floor (0.802902221679688 × 32768)
    floor (26309.5)     		ty = 26309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9055 / 26309 ti = "15/9055/26309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9055/26309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9055 ÷ 215
    9055 ÷ 32768     		x = 0.276336669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26309 ÷ 215
    26309 ÷ 32768     		y = 0.802886962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276336669921875 × 2 - 1) × π
    -0.44732666015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40531815
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802886962890625 × 2 - 1) × π
    -0.60577392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.90309491491623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40531815} λ = -1.40531815}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90309491491623))-π/2
    2×atan(0.149106432654975)-π/2
    2×0.148015928766764-π/2
    0.296031857533528-1.57079632675     		φ = -1.27476447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40531815} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.518799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27476447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.038624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9055 KachelY 26309 -1.40531815 -1.27476447 -80.518799 -73.038624
    Oben rechts KachelX + 1 9056 KachelY 26309 -1.40512640 -1.27476447 -80.507812 -73.038624
    Unten links KachelX 9055 KachelY + 1 26310 -1.40531815 -1.27482040 -80.518799 -73.041829
    Unten rechts KachelX + 1 9056 KachelY + 1 26310 -1.40512640 -1.27482040 -80.507812 -73.041829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27476447--1.27482040) × R
    5.59300000000373e-05 × 6371000     		dl = 356.330030000238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27476447--1.27482040) × R
    5.59300000000373e-05 × 6371000     		dr = 356.330030000238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40531815--1.40512640) × cos(-1.27476447) × R
    0.000191749999999935 × 0.29172697796089 × 6371000     		do = 356.385126560787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40531815--1.40512640) × cos(-1.27482040) × R
    0.000191749999999935 × 0.291673480368404 × 6371000     		du = 356.319771802026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27476447)-sin(-1.27482040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29172697796089-0.291673480368404)×R²
    abs(-1.40512640--1.40531815)×5.34975924855741e-05×R²
    0.000191749999999935×5.34975924855741e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.34975924855741e-05×40589641000000     		ar = 126979.078940786m²