Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9055 / 11240
↖ ↑ ↗
← N 75.530136°
W130.259399°		 ← 152.62 m → N 75.530136°
W130.253906°		 →
↑
152.65 m
↓
↑
152.65 m
↓
N 75.528763°
W130.259399°		 ← 152.63 m →
23 298 m²		 N 75.528763°
W130.253906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138175964355469 y=0.171516418457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138175964355469 × 216)
    floor (0.138175964355469 × 65536)
    floor (9055.5)     		tx = 9055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171516418457031 × 216)
    floor (0.171516418457031 × 65536)
    floor (11240.5)     		ty = 11240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9055 / 11240 ti = "16/9055/11240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9055/11240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9055 ÷ 216
    9055 ÷ 65536     		x = 0.138168334960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11240 ÷ 216
    11240 ÷ 65536     		y = 0.1715087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138168334960938 × 2 - 1) × π
    -0.723663330078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.27345540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1715087890625 × 2 - 1) × π
    0.656982421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.06397115004114
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27345540} λ = -2.27345540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06397115004114))-π/2
    2×atan(7.87718928122739)-π/2
    2×1.44452294210827-π/2
    2.88904588421653-1.57079632675     		φ = 1.31824956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27345540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.259399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31824956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.530136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9055 KachelY 11240 -2.27345540 1.31824956 -130.259399 75.530136
    Oben rechts KachelX + 1 9056 KachelY 11240 -2.27335953 1.31824956 -130.253906 75.530136
    Unten links KachelX 9055 KachelY + 1 11241 -2.27345540 1.31822560 -130.259399 75.528763
    Unten rechts KachelX + 1 9056 KachelY + 1 11241 -2.27335953 1.31822560 -130.253906 75.528763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31824956-1.31822560) × R
    2.3959999999823e-05 × 6371000     		dl = 152.649159998872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31824956-1.31822560) × R
    2.3959999999823e-05 × 6371000     		dr = 152.649159998872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27345540--2.27335953) × cos(1.31824956) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.249870748236604 × 6371000     		do = 152.617997103664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27345540--2.27335953) × cos(1.31822560) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.249893948134511 × 6371000     		du = 152.63216731757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31824956)-sin(1.31822560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.249870748236604-0.249893948134511)×R²
    abs(-2.27335953--2.27345540)×2.31998979067782e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.31998979067782e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.31998979067782e-05×40589641000000     		ar = 23298.0905955121m²