Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9055 / 11239
↖ ↑ ↗
← N 75.531508°
W130.259399°		 ← 152.60 m → N 75.531508°
W130.253906°		 →
↑
152.59 m
↓
↑
152.59 m
↓
N 75.530136°
W130.259399°		 ← 152.62 m →
23 286 m²		 N 75.530136°
W130.253906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138175964355469 y=0.171501159667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138175964355469 × 216)
    floor (0.138175964355469 × 65536)
    floor (9055.5)     		tx = 9055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171501159667969 × 216)
    floor (0.171501159667969 × 65536)
    floor (11239.5)     		ty = 11239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9055 / 11239 ti = "16/9055/11239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9055/11239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9055 ÷ 216
    9055 ÷ 65536     		x = 0.138168334960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11239 ÷ 216
    11239 ÷ 65536     		y = 0.171493530273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138168334960938 × 2 - 1) × π
    -0.723663330078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.27345540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171493530273438 × 2 - 1) × π
    0.657012939453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.06406702384038
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27345540} λ = -2.27345540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06406702384038))-π/2
    2×atan(7.87794453349499)-π/2
    2×1.4445349195814-π/2
    2.88906983916281-1.57079632675     		φ = 1.31827351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27345540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.259399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31827351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.531508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9055 KachelY 11239 -2.27345540 1.31827351 -130.259399 75.531508
    Oben rechts KachelX + 1 9056 KachelY 11239 -2.27335953 1.31827351 -130.253906 75.531508
    Unten links KachelX 9055 KachelY + 1 11240 -2.27345540 1.31824956 -130.259399 75.530136
    Unten rechts KachelX + 1 9056 KachelY + 1 11240 -2.27335953 1.31824956 -130.253906 75.530136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31827351-1.31824956) × R
    2.39500000001058e-05 × 6371000     		dl = 152.585450000674m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31827351-1.31824956) × R
    2.39500000001058e-05 × 6371000     		dr = 152.585450000674m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27345540--2.27335953) × cos(1.31827351) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.249847557878103 × 6371000     		do = 152.603832716309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27345540--2.27335953) × cos(1.31824956) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.249870748236604 × 6371000     		du = 152.617997103664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31827351)-sin(1.31824956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.249847557878103-0.249870748236604)×R²
    abs(-2.27335953--2.27345540)×2.31903585014293e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.31903585014293e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.31903585014293e-05×40589641000000     		ar = 23286.2051276869m²