Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 9054 / 26299
↖ ↑ ↗
← S 73.006545°
W 80.529785°		 ← 357.04 m → S 73.006545°
W 80.518799°		 →
↑
356.97 m
↓
↑
356.97 m
↓
S 73.009755°
W 80.529785°		 ← 356.97 m →
127 440 m²		 S 73.009755°
W 80.518799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276321411132812 y=0.802597045898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276321411132812 × 215)
    floor (0.276321411132812 × 32768)
    floor (9054.5)     		tx = 9054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802597045898438 × 215)
    floor (0.802597045898438 × 32768)
    floor (26299.5)     		ty = 26299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9054 / 26299 ti = "15/9054/26299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9054/26299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9054 ÷ 215
    9054 ÷ 32768     		x = 0.27630615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26299 ÷ 215
    26299 ÷ 32768     		y = 0.802581787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27630615234375 × 2 - 1) × π
    -0.4473876953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40550990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802581787109375 × 2 - 1) × π
    -0.60516357421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.90117743893143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40550990} λ = -1.40550990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90117743893143))-π/2
    2×atan(0.149392614944921)-π/2
    2×0.148295875132003-π/2
    0.296591750264006-1.57079632675     		φ = -1.27420458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40550990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.529785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27420458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.006545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9054 KachelY 26299 -1.40550990 -1.27420458 -80.529785 -73.006545
    Oben rechts KachelX + 1 9055 KachelY 26299 -1.40531815 -1.27420458 -80.518799 -73.006545
    Unten links KachelX 9054 KachelY + 1 26300 -1.40550990 -1.27426061 -80.529785 -73.009755
    Unten rechts KachelX + 1 9055 KachelY + 1 26300 -1.40531815 -1.27426061 -80.518799 -73.009755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27420458--1.27426061) × R
    5.60300000000957e-05 × 6371000     		dl = 356.96713000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27420458--1.27426061) × R
    5.60300000000957e-05 × 6371000     		dr = 356.96713000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40550990--1.40531815) × cos(-1.27420458) × R
    0.000191749999999935 × 0.292262467906336 × 6371000     		do = 357.039302096124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40550990--1.40531815) × cos(-1.27426061) × R
    0.000191749999999935 × 0.292208883821274 × 6371000     		du = 356.973841674638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27420458)-sin(-1.27426061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292262467906336-0.292208883821274)×R²
    abs(-1.40531815--1.40550990)×5.35840850616198e-05×R²
    0.000191749999999935×5.35840850616198e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.35840850616198e-05×40589641000000     		ar = 127439.611390408m²