Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9054 / 11238
↖ ↑ ↗
← N 75.532881°
W130.264893°		 ← 152.61 m → N 75.532881°
W130.259399°		 →
↑
152.65 m
↓
↑
152.65 m
↓
N 75.531508°
W130.264893°		 ← 152.62 m →
23 296 m²		 N 75.531508°
W130.259399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138160705566406 y=0.171485900878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138160705566406 × 216)
    floor (0.138160705566406 × 65536)
    floor (9054.5)     		tx = 9054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171485900878906 × 216)
    floor (0.171485900878906 × 65536)
    floor (11238.5)     		ty = 11238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9054 / 11238 ti = "16/9054/11238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9054/11238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9054 ÷ 216
    9054 ÷ 65536     		x = 0.138153076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11238 ÷ 216
    11238 ÷ 65536     		y = 0.171478271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138153076171875 × 2 - 1) × π
    -0.72369384765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.27355128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171478271484375 × 2 - 1) × π
    0.65704345703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.06416289763962
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27355128} λ = -2.27355128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06416289763962))-π/2
    2×atan(7.87869985817496)-π/2
    2×1.44454689594268-π/2
    2.88909379188537-1.57079632675     		φ = 1.31829747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27355128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.264893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31829747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.532881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9054 KachelY 11238 -2.27355128 1.31829747 -130.264893 75.532881
    Oben rechts KachelX + 1 9055 KachelY 11238 -2.27345540 1.31829747 -130.259399 75.532881
    Unten links KachelX 9054 KachelY + 1 11239 -2.27355128 1.31827351 -130.264893 75.531508
    Unten rechts KachelX + 1 9055 KachelY + 1 11239 -2.27345540 1.31827351 -130.259399 75.531508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31829747-1.31827351) × R
    2.39600000000451e-05 × 6371000     		dl = 152.649160000287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31829747-1.31827351) × R
    2.39600000000451e-05 × 6371000     		dr = 152.649160000287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27355128--2.27345540) × cos(1.31829747) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.249824357693377 × 6371000     		do = 152.605578636949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27355128--2.27345540) × cos(1.31827351) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.249847557878103 × 6371000     		du = 152.619750504125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31829747)-sin(1.31827351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.249824357693377-0.249847557878103)×R²
    abs(-2.27345540--2.27355128)×2.32001847262076e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.32001847262076e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.32001847262076e-05×40589641000000     		ar = 23296.1950531368m²