Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9053 / 7085
↖ ↑ ↗
← N 80.256180°
W130.270386°		 ← 103.37 m → N 80.256180°
W130.264893°		 →
↑
103.34 m
↓
↑
103.34 m
↓
N 80.255251°
W130.270386°		 ← 103.38 m →
10 683 m²		 N 80.255251°
W130.264893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138145446777344 y=0.108116149902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138145446777344 × 216)
    floor (0.138145446777344 × 65536)
    floor (9053.5)     		tx = 9053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108116149902344 × 216)
    floor (0.108116149902344 × 65536)
    floor (7085.5)     		ty = 7085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9053 / 7085 ti = "16/9053/7085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9053/7085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9053 ÷ 216
    9053 ÷ 65536     		x = 0.138137817382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7085 ÷ 216
    7085 ÷ 65536     		y = 0.108108520507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138137817382812 × 2 - 1) × π
    -0.723724365234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.27364715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108108520507812 × 2 - 1) × π
    0.783782958984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.4623267858838
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27364715} λ = -2.27364715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4623267858838))-π/2
    2×atan(11.7320778393634)-π/2
    2×1.48576545942792-π/2
    2.97153091885584-1.57079632675     		φ = 1.40073459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27364715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.270386°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40073459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.256180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9053 KachelY 7085 -2.27364715 1.40073459 -130.270386 80.256180
    Oben rechts KachelX + 1 9054 KachelY 7085 -2.27355128 1.40073459 -130.264893 80.256180
    Unten links KachelX 9053 KachelY + 1 7086 -2.27364715 1.40071837 -130.270386 80.255251
    Unten rechts KachelX + 1 9054 KachelY + 1 7086 -2.27355128 1.40071837 -130.264893 80.255251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40073459-1.40071837) × R
    1.62199999997892e-05 × 6371000     		dl = 103.337619998657m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40073459-1.40071837) × R
    1.62199999997892e-05 × 6371000     		dr = 103.337619998657m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27364715--2.27355128) × cos(1.40073459) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.169243195589152 × 6371000     		do = 103.37167402157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27364715--2.27355128) × cos(1.40071837) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.169259181582363 × 6371000     		du = 103.381438070714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40073459)-sin(1.40071837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169243195589152-0.169259181582363)×R²
    abs(-2.27355128--2.27364715)×1.59859932106488e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.59859932106488e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.59859932106488e-05×40589641000000     		ar = 10682.6872657643m²