Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 905 / 758
↖ ↑ ↗
← N 74.259739°
W100.458984°		 ← 2 651.19 m → N 74.259739°
W100.371094°		 →
↑
2 653.14 m
↓
↑
2 653.14 m
↓
N 74.235878°
W100.458984°		 ← 2 655.10 m →
7 039 159 m²		 N 74.235878°
W100.371094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2210693359375 y=0.1851806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2210693359375 × 212)
    floor (0.2210693359375 × 4096)
    floor (905.5)     		tx = 905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1851806640625 × 212)
    floor (0.1851806640625 × 4096)
    floor (758.5)     		ty = 758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 905 / 758 ti = "12/905/758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/905/758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 905 ÷ 212
    905 ÷ 4096     		x = 0.220947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 758 ÷ 212
    758 ÷ 4096     		y = 0.18505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220947265625 × 2 - 1) × π
    -0.55810546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.75334004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18505859375 × 2 - 1) × π
    0.6298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.97883521631592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75334004} λ = -1.75334004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.97883521631592))-π/2
    2×atan(7.23431166758771)-π/2
    2×1.43343663151094-π/2
    2.86687326302187-1.57079632675     		φ = 1.29607694
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75334004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.458984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29607694 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.259739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 905 KachelY 758 -1.75334004 1.29607694 -100.458984 74.259739
    Oben rechts KachelX + 1 906 KachelY 758 -1.75180606 1.29607694 -100.371094 74.259739
    Unten links KachelX 905 KachelY + 1 759 -1.75334004 1.29566050 -100.458984 74.235878
    Unten rechts KachelX + 1 906 KachelY + 1 759 -1.75180606 1.29566050 -100.371094 74.235878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29607694-1.29566050) × R
    0.000416439999999962 × 6371000     		dl = 2653.13923999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29607694-1.29566050) × R
    0.000416439999999962 × 6371000     		dr = 2653.13923999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75334004--1.75180606) × cos(1.29607694) × R
    0.00153398000000005 × 0.271276857048964 × 6371000     		do = 2651.18508340418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75334004--1.75180606) × cos(1.29566050) × R
    0.00153398000000005 × 0.271677657580759 × 6371000     		du = 2655.10210162267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29607694)-sin(1.29566050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.271276857048964-0.271677657580759)×R²
    abs(-1.75180606--1.75334004)×0.000400800531795142×R²
    0.00153398000000005×0.000400800531795142×6371000²
    0.00153398000000005×0.000400800531795142×40589641000000     		ar = 7039159.47638302m²