Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 905 / 1337
↖ ↑ ↗
← S 48.107431°
W 20.917969°		 ← 13.052 km → S 48.107431°
W 20.742188°		 →
↑
13.037 km
↓
↑
13.037 km
↓
S 48.224673°
W 20.917969°		 ← 13.022 km →
169.954 km²		 S 48.224673°
W 20.742188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442138671875 y=0.653076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442138671875 × 211)
    floor (0.442138671875 × 2048)
    floor (905.5)     		tx = 905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653076171875 × 211)
    floor (0.653076171875 × 2048)
    floor (1337.5)     		ty = 1337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 905 / 1337 ti = "11/905/1337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/905/1337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 905 ÷ 211
    905 ÷ 2048     		x = 0.44189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1337 ÷ 211
    1337 ÷ 2048     		y = 0.65283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44189453125 × 2 - 1) × π
    -0.1162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36508743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65283203125 × 2 - 1) × π
    -0.3056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.960271973188965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36508743} λ = -0.36508743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.960271973188965))-π/2
    2×atan(0.382788763535779)-π/2
    2×0.365581628948816-π/2
    0.731163257897632-1.57079632675     		φ = -0.83963307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36508743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.917969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83963307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.107431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 905 KachelY 1337 -0.36508743 -0.83963307 -20.917969 -48.107431
    Oben rechts KachelX + 1 906 KachelY 1337 -0.36201947 -0.83963307 -20.742188 -48.107431
    Unten links KachelX 905 KachelY + 1 1338 -0.36508743 -0.84167932 -20.917969 -48.224673
    Unten rechts KachelX + 1 906 KachelY + 1 1338 -0.36201947 -0.84167932 -20.742188 -48.224673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83963307--0.84167932) × R
    0.00204625000000003 × 6371000     		dl = 13036.6587500002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83963307--0.84167932) × R
    0.00204625000000003 × 6371000     		dr = 13036.6587500002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36508743--0.36201947) × cos(-0.83963307) × R
    0.00306795999999998 × 0.667736012802383 × 6371000     		do = 13051.5501842007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36508743--0.36201947) × cos(-0.84167932) × R
    0.00306795999999998 × 0.666211391183872 × 6371000     		du = 13021.7499709661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83963307)-sin(-0.84167932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667736012802383-0.666211391183872)×R²
    abs(-0.36201947--0.36508743)×0.00152462161851197×R²
    0.00306795999999998×0.00152462161851197×6371000²
    0.00306795999999998×0.00152462161851197×40589641000000     		ar = 169954417.606525m²