Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9049 / 9478
↖ ↑ ↗
← S 27.176469°
E 18.830566°		 ← 2 173.55 m → S 27.176469°
E 18.852539°		 →
↑
2 173.28 m
↓
↑
2 173.28 m
↓
S 27.196014°
E 18.830566°		 ← 2 173.17 m →
4 723 310 m²		 S 27.196014°
E 18.852539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552337646484375 y=0.578521728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552337646484375 × 214)
    floor (0.552337646484375 × 16384)
    floor (9049.5)     		tx = 9049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578521728515625 × 214)
    floor (0.578521728515625 × 16384)
    floor (9478.5)     		ty = 9478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9049 / 9478 ti = "14/9049/9478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9049/9478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9049 ÷ 214
    9049 ÷ 16384     		x = 0.55230712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9478 ÷ 214
    9478 ÷ 16384     		y = 0.5784912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55230712890625 × 2 - 1) × π
    0.1046142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.32865538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5784912109375 × 2 - 1) × π
    -0.156982421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.493174823291138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32865538} λ = 0.32865538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.493174823291138))-π/2
    2×atan(0.610684497859347)-π/2
    2×0.548238730694598-π/2
    1.0964774613892-1.57079632675     		φ = -0.47431887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32865538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.830566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47431887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.176469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9049 KachelY 9478 0.32865538 -0.47431887 18.830566 -27.176469
    Oben rechts KachelX + 1 9050 KachelY 9478 0.32903888 -0.47431887 18.852539 -27.176469
    Unten links KachelX 9049 KachelY + 1 9479 0.32865538 -0.47465999 18.830566 -27.196014
    Unten rechts KachelX + 1 9050 KachelY + 1 9479 0.32903888 -0.47465999 18.852539 -27.196014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47431887--0.47465999) × R
    0.000341119999999973 × 6371000     		dl = 2173.27551999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47431887--0.47465999) × R
    0.000341119999999973 × 6371000     		dr = 2173.27551999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32865538-0.32903888) × cos(-0.47431887) × R
    0.000383499999999981 × 0.889604022247239 × 6371000     		do = 2173.55038107009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32865538-0.32903888) × cos(-0.47465999) × R
    0.000383499999999981 × 0.889448169861455 × 6371000     		du = 2173.16959028673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47431887)-sin(-0.47465999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889604022247239-0.889448169861455)×R²
    abs(0.32903888-0.32865538)×0.000155852385784083×R²
    0.000383499999999981×0.000155852385784083×6371000²
    0.000383499999999981×0.000155852385784083×40589641000000     		ar = 4723310.09882315m²