Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9048 / 9477
↖ ↑ ↗
← S 27.156921°
E 18.808594°		 ← 2 173.87 m → S 27.156921°
E 18.830566°		 →
↑
2 173.72 m
↓
↑
2 173.72 m
↓
S 27.176469°
E 18.808594°		 ← 2 173.49 m →
4 724 984 m²		 S 27.176469°
E 18.830566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552276611328125 y=0.578460693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552276611328125 × 214)
    floor (0.552276611328125 × 16384)
    floor (9048.5)     		tx = 9048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578460693359375 × 214)
    floor (0.578460693359375 × 16384)
    floor (9477.5)     		ty = 9477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9048 / 9477 ti = "14/9048/9477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9048/9477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9048 ÷ 214
    9048 ÷ 16384     		x = 0.55224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9477 ÷ 214
    9477 ÷ 16384     		y = 0.57843017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55224609375 × 2 - 1) × π
    0.1044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.32827189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57843017578125 × 2 - 1) × π
    -0.1568603515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.492791328094177
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32827189} λ = 0.32827189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.492791328094177))-π/2
    2×atan(0.610918737343122)-π/2
    2×0.548409325066327-π/2
    1.09681865013265-1.57079632675     		φ = -0.47397768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32827189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.808594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47397768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.156921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9048 KachelY 9477 0.32827189 -0.47397768 18.808594 -27.156921
    Oben rechts KachelX + 1 9049 KachelY 9477 0.32865538 -0.47397768 18.830566 -27.156921
    Unten links KachelX 9048 KachelY + 1 9478 0.32827189 -0.47431887 18.808594 -27.176469
    Unten rechts KachelX + 1 9049 KachelY + 1 9478 0.32865538 -0.47431887 18.830566 -27.176469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47397768--0.47431887) × R
    0.000341189999999991 × 6371000     		dl = 2173.72148999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47397768--0.47431887) × R
    0.000341189999999991 × 6371000     		dr = 2173.72148999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32827189-0.32865538) × cos(-0.47397768) × R
    0.000383489999999986 × 0.889759803066198 × 6371000     		do = 2173.87431039874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32827189-0.32865538) × cos(-0.47431887) × R
    0.000383489999999986 × 0.889604022247239 × 6371000     		du = 2173.49370439787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47397768)-sin(-0.47431887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889759803066198-0.889604022247239)×R²
    abs(0.32865538-0.32827189)×0.000155780818958617×R²
    0.000383489999999986×0.000155780818958617×6371000²
    0.000383489999999986×0.000155780818958617×40589641000000     		ar = 4724983.68518804m²