Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9046 / 9828
↖ ↑ ↗
← S 33.797409°
E 18.764649°		 ← 2 030.34 m → S 33.797409°
E 18.786621°		 →
↑
2 030.18 m
↓
↑
2 030.18 m
↓
S 33.815667°
E 18.764649°		 ← 2 029.90 m →
4 121 512 m²		 S 33.815667°
E 18.786621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552154541015625 y=0.599884033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552154541015625 × 214)
    floor (0.552154541015625 × 16384)
    floor (9046.5)     		tx = 9046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599884033203125 × 214)
    floor (0.599884033203125 × 16384)
    floor (9828.5)     		ty = 9828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9046 / 9828 ti = "14/9046/9828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9046/9828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9046 ÷ 214
    9046 ÷ 16384     		x = 0.5521240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9828 ÷ 214
    9828 ÷ 16384     		y = 0.599853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5521240234375 × 2 - 1) × π
    0.104248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.32750490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599853515625 × 2 - 1) × π
    -0.19970703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.627398142227295
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32750490} λ = 0.32750490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.627398142227295))-π/2
    2×atan(0.533979333422265)-π/2
    2×0.49046013258663-π/2
    0.98092026517326-1.57079632675     		φ = -0.58987606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32750490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.764649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58987606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.797409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9046 KachelY 9828 0.32750490 -0.58987606 18.764649 -33.797409
    Oben rechts KachelX + 1 9047 KachelY 9828 0.32788839 -0.58987606 18.786621 -33.797409
    Unten links KachelX 9046 KachelY + 1 9829 0.32750490 -0.59019472 18.764649 -33.815667
    Unten rechts KachelX + 1 9047 KachelY + 1 9829 0.32788839 -0.59019472 18.786621 -33.815667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58987606--0.59019472) × R
    0.000318659999999915 × 6371000     		dl = 2030.18285999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58987606--0.59019472) × R
    0.000318659999999915 × 6371000     		dr = 2030.18285999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32750490-0.32788839) × cos(-0.58987606) × R
    0.000383489999999986 × 0.831009628103076 × 6371000     		do = 2030.33501401376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32750490-0.32788839) × cos(-0.59019472) × R
    0.000383489999999986 × 0.830832328729544 × 6371000     		du = 2029.90183356209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58987606)-sin(-0.59019472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.831009628103076-0.830832328729544)×R²
    abs(0.32788839-0.32750490)×0.000177299373531836×R²
    0.000383489999999986×0.000177299373531836×6371000²
    0.000383489999999986×0.000177299373531836×40589641000000     		ar = 4121511.6626213m²