Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9043 / 9835
↖ ↑ ↗
← S 33.925130°
E 18.698730°		 ← 2 027.35 m → S 33.925130°
E 18.720703°		 →
↑
2 027.12 m
↓
↑
2 027.12 m
↓
S 33.943360°
E 18.698730°		 ← 2 026.92 m →
4 109 258 m²		 S 33.943360°
E 18.720703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551971435546875 y=0.600311279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551971435546875 × 214)
    floor (0.551971435546875 × 16384)
    floor (9043.5)     		tx = 9043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600311279296875 × 214)
    floor (0.600311279296875 × 16384)
    floor (9835.5)     		ty = 9835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9043 / 9835 ti = "14/9043/9835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9043/9835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9043 ÷ 214
    9043 ÷ 16384     		x = 0.55194091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9835 ÷ 214
    9835 ÷ 16384     		y = 0.60028076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55194091796875 × 2 - 1) × π
    0.1038818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.32635441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60028076171875 × 2 - 1) × π
    -0.2005615234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.630082608606018
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32635441} λ = 0.32635441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.630082608606018))-π/2
    2×atan(0.532547806157841)-π/2
    2×0.489345557188734-π/2
    0.978691114377467-1.57079632675     		φ = -0.59210521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32635441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.698730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59210521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.925130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9043 KachelY 9835 0.32635441 -0.59210521 18.698730 -33.925130
    Oben rechts KachelX + 1 9044 KachelY 9835 0.32673791 -0.59210521 18.720703 -33.925130
    Unten links KachelX 9043 KachelY + 1 9836 0.32635441 -0.59242339 18.698730 -33.943360
    Unten rechts KachelX + 1 9044 KachelY + 1 9836 0.32673791 -0.59242339 18.720703 -33.943360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59210521--0.59242339) × R
    0.000318179999999946 × 6371000     		dl = 2027.12477999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59210521--0.59242339) × R
    0.000318179999999946 × 6371000     		dr = 2027.12477999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32635441-0.32673791) × cos(-0.59210521) × R
    0.000383500000000037 × 0.829767581850151 × 6371000     		do = 2027.35329273166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32635441-0.32673791) × cos(-0.59242339) × R
    0.000383500000000037 × 0.829589960699599 × 6371000     		du = 2026.91931479337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59210521)-sin(-0.59242339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.829767581850151-0.829589960699599)×R²
    abs(0.32673791-0.32635441)×0.000177621150551976×R²
    0.000383500000000037×0.000177621150551976×6371000²
    0.000383500000000037×0.000177621150551976×40589641000000     		ar = 4109258.26846251m²