Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9043 / 25810
↖ ↑ ↗
← S 71.364090°
W 80.650635°		 ← 390.38 m → S 71.364090°
W 80.639648°		 →
↑
390.29 m
↓
↑
390.29 m
↓
S 71.367599°
W 80.650635°		 ← 390.31 m →
152 346 m²		 S 71.367599°
W 80.639648°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275985717773438 y=0.787673950195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275985717773438 × 215)
    floor (0.275985717773438 × 32768)
    floor (9043.5)     		tx = 9043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787673950195312 × 215)
    floor (0.787673950195312 × 32768)
    floor (25810.5)     		ty = 25810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9043 / 25810 ti = "15/9043/25810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9043/25810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9043 ÷ 215
    9043 ÷ 32768     		x = 0.275970458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25810 ÷ 215
    25810 ÷ 32768     		y = 0.78765869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275970458984375 × 2 - 1) × π
    -0.44805908203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40761912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78765869140625 × 2 - 1) × π
    -0.5753173828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.8074128632746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40761912} λ = -1.40761912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8074128632746))-π/2
    2×atan(0.164078080594102)-π/2
    2×0.162629000771401-π/2
    0.325258001542801-1.57079632675     		φ = -1.24553833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40761912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.650635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24553833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.364090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9043 KachelY 25810 -1.40761912 -1.24553833 -80.650635 -71.364090
    Oben rechts KachelX + 1 9044 KachelY 25810 -1.40742737 -1.24553833 -80.639648 -71.364090
    Unten links KachelX 9043 KachelY + 1 25811 -1.40761912 -1.24559959 -80.650635 -71.367599
    Unten rechts KachelX + 1 9044 KachelY + 1 25811 -1.40742737 -1.24559959 -80.639648 -71.367599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24553833--1.24559959) × R
    6.12600000000629e-05 × 6371000     		dl = 390.287460000401m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24553833--1.24559959) × R
    6.12600000000629e-05 × 6371000     		dr = 390.287460000401m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40761912--1.40742737) × cos(-1.24553833) × R
    0.000191749999999935 × 0.319553266077414 × 6371000     		do = 390.37881230573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40761912--1.40742737) × cos(-1.24559959) × R
    0.000191749999999935 × 0.319495217442913 × 6371000     		du = 390.307897815414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24553833)-sin(-1.24559959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319553266077414-0.319495217442913)×R²
    abs(-1.40742737--1.40761912)×5.80486345014841e-05×R²
    0.000191749999999935×5.80486345014841e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.80486345014841e-05×40589641000000     		ar = 152346.11662228m²